(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题04 幂函数、指数函数与对数函数(讲义)（解析版）.doc

专题04幂函数、指数函数与对数函数(讲义)

一、幂函数

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

常用结论：

1.幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；

2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.

二、指数函数

1.根式的概念及性质

(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)①负数没有偶次方根.

②0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.

③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n1).

④eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).

⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0))(n为大于1的偶数).

2.分数指数幂

规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

3.指数幂的运算性质

实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈R.

4.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的图象关于y轴对称

常用结论：

1.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).

2.指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究.

3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大.

三、对数函数

1.对数的概念

如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a0，且a≠1).

(2)对数的运算性质

如果a0且a≠1，M0，N0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R).

(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1，b0，c0，且c≠1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)

当x1时，y0；

当0x1时，y0

当x1时，y0；

当0x1时，y0

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

4.反函数

指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.

常用结论：

1.换底公式的两个重要结论

(1)logab＝eq\f(1,logba)(a0，且a≠1；b0，且b≠1).

(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a0，且a≠1；b0；m，n∈R，且m≠0).

2.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.

故0＜c＜d＜1＜a＜b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

四、函数的图像

1.利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点