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2024届山西高三第二次学业质量评价

数学试题

试卷满分：150分 考试用时：120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“,”的否定是（）

A．“,” B．“,”

C．“,” D．“,”

2．已知集合，，则（）

A． B．

C． D．

3．已知为实数，则（）

A．1 B． C．2 D．

4．设，为不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）

A．若，，，，则

B．若，，，则

C．若，，则与异面

D．若，，，则与相交

5．方程的实数根的个数为（）

A．9 B．10 C．11 D．12

6．从集合中任取两个不同的数，和为2的倍数的概率为（）

A． B． C． D．

7．已知，，则的最小值为（）

A．-4 B．-3 C． D．2

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与轴交于点，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的离心率为（）

A． B． C．2 D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（）

A．这组数据的众数为1 B．这组数据的极差为2

C．这组数据的平均数为2 D．这组数据的40%分位数为1

10．已知函数，则（）

A．的一个对称中心为

B．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是偶函数

C．在区间上单调递减

D．若在区间上与有且只有6个交点，则

11．在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，，则（）

A．该正四棱台的高为3

B．该正四棱台的侧面面积是

C．球心到正四棱台底面的距离为

D．动点的轨迹长度是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．二项式展开式中常数项为______．

13．写出一个过点且与圆相切的直线方程______．

14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，若为的角平分线，则直线的斜率为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

山西作为汾河文化的发源地，是我国文明古省，有山西老陈醋、平遥古城、杏花村汾酒等文化资源，山西文旅局相关工作人员通过自媒体以图片、短视频、视频等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面为山西饮食文化的代表某校进行了有关是否喜欢吃山西大同刀削面的调查问卷，并从参与调查的同学中随机抽取了男、女各100名同学进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）：

性别

喜欢情况

合计

喜欢

不喜欢

男同学

60

女同学

20

合计

60

140

（1）完善列联表并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关联？

（2）用分层随机抽样的方法，从喜欢和不喜欢吃山西大同刀削面的同学中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进一步调查，设其中不喜欢吃山西大同刀削面的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：，其中．

0.10

0.01

0.001

2.706

6.635

10.828

16．（本小题满分15分）

如图，在四棱锥中，与交于点，点在平面内的投影为点，若为正三角形，且，．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

17．（本小题满分15分）

已知数列的前项和为，且．

（1）探究数列的单调性；

（2）证明：．

18．（本小题满分17分）

已知为椭圆的右焦点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，，且．

（1）求|AB|的取值范围；

（2）过点作直线与椭圆交于点，，直线的倾斜角比直线的倾斜角大，求四边形面积的最大值．

19．（本小题满分17分）

已知函数，且与轴相切于坐标原点．

（1）求实数的值及的最大值；

（2）证明：当时，；

（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．

2024届山西高三第二次学业质量评价

数学试题参考答案及多维细目表

题号

1

2

3

4

5

6

答案

C

B

B

A

C

D

题号

7

8

9

10

11