(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题20 计数原理(讲义)（解析版）.doc

专题20计数原理(讲义)

一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

常用结论：

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.

二、排列与组合

1.排列与组合的概念

名称

定义

排列

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列

组合

作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

2.排列数与组合数

(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Peq\o\al(m,n)表示.

(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示.

3.排列数、组合数的公式及性质

公式

(1)Peq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).

(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)

＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq\o\al(0,n)＝1

性质

(1)0！＝1；Peq\o\al(n,n)＝n！.

(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1)

1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.

2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.

三、二项式定理

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；

(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).

2.二项式系数的性质

性质

性质描述

对称性

与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)

增减性

二项式系数Ceq\o\al(k,n)

当k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的

当k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的

二项式

系数最大值

当n为偶数时，中间的一项取得最大值

当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值

3.各二项式系数和

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.

常用结论：

(a＋b)n的展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).

一、单选题

1．仅有甲