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05插本高代考试练习题(A)含答案

一、选择题（每题3分，共15分）

1.设\(A\)是\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert=(\)\)

A.\(16\)

B.\(4\)

C.\(4\)

D.\(16\)

答案：A

详细解答：根据方阵行列式的性质，若\(A\)是\(n\)阶方阵，\(k\)为常数，则\(\vertkA\vert=k^{n}\vertA\vert\)。已知\(A\)是\(3\)阶方阵，\(\vertA\vert=2\)，\(k=2\)，那么\(\vert2A\vert=(2)^{3}\times\vertA\vert=(8)\times2=16\)。

2.设向量组\(\alpha_{1}=(1,0,0)\)，\(\alpha_{2}=(0,1,0)\)，\(\alpha_{3}=(0,0,1)\)，\(\beta=(2,1,3)\)，则\(\beta\)由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\)线性表示的表达式为\((\)\)

A.\(\beta=2\alpha_{1}\alpha_{2}+3\alpha_{3}\)

B.\(\beta=2\alpha_{1}+\alpha_{2}+3\alpha_{3}\)

C.\(\beta=2\alpha_{1}\alpha_{2}3\alpha_{3}\)

D.\(\beta=2\alpha_{1}+\alpha_{2}3\alpha_{3}\)

答案：A

详细解答：设\(\beta=x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+x_{3}\alpha_{3}\)，即\((2,1,3)=x_{1}(1,0,0)+x_{2}(0,1,0)+x_{3}(0,0,1)=(x_{1},x_{2},x_{3})\)。根据向量相等的定义，对应分量相等，可得\(x_{1}=2\)，\(x_{2}=1\)，\(x_{3}=3\)，所以\(\beta=2\alpha_{1}\alpha_{2}+3\alpha_{3}\)。

3.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是\((\)\)

A.\((A^{T})^{1}=(A^{1})^{T}\)

B.\((kA)^{1}=kA^{1}(k\neq0)\)

C.\((A^{m})^{1}=(A^{1})^{m}(m\inN)\)

D.\(\vertA^{1}\vert=\vertA\vert^{1}\)

答案：B

详细解答：

选项A：因为\((A^{T})(A^{1})^{T}=(A^{1}A)^{T}=E^{T}=E\)，所以\((A^{T})^{1}=(A^{1})^{T}\)，该选项成立。

选项B：\((kA)^{1}=\frac{1}{k}A^{1}(k\neq0)\)，而不是\(kA^{1}\)，所以该选项不成立。

选项C：\((A^{m})(A^{1})^{m}=A^{m1}(AA^{1})(A^{1})^{m1}=A^{m1}(A^{1})^{m1}=\cdots=E\)，所以\((A^{m})^{1}=(A^{1})^{m}(m\inN)\)，该选项成立。

选项D：由于\(AA^{1}=E\)，则\(\vertAA^{1}\vert=\vertE\vert=1\)，根据行列式乘法规则\(\vertAA^{1}\vert=\vertA\vert\vertA^{1}\vert=1\)，所以\(\vertA^{1}\vert=\vertA\vert^{1}\)，该选项成立。

4.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(r(A)=r\ltn\)，则在\(A\)的\(n\)个行向量中\((\)\)

A.必有\(r\)个行向量线性无关

B.任意\(r\)个行向量都线性无关

C.任意\(r\)个行向量都构成极大线性无关组

D.任意一个行向量都能由其余\(n1\)个行向量线性表示

答案：A

详细解答：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。已知\(r(A)=r\ltn\)，根据向量组秩的定义，向量组的秩是向量组中极大线性无关组所含向量的个数，所以\(A\)的行向量组的秩为\(r\)，这意味着必有\(r\)个行向量线性无关，故选项A正确；选项B，任意\(r\)个行向量不一定都线性无关；选项C，任意\(r\)个行向量不一定都构成极大线性无关组；选项D，当\(r(A)=r\ltn\)时，存在\(nr\)个行向量可以由其余行向量线