已知66x+10y=117,求ab最大值的方法.docVIP

已知66x+10y=117,求ab最大值的方法

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算xy在66x+10y=117条件下的最大值。

主要公式：

1.sin2a+cos2a=1；

2.ab≤eq\f((a+b)2,2)；

3.二次方程根的判定定理；

4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换y=eq\f(117-66x,10)，得到关于x的函数，再配方并根据二次函数性质得xy的取值范围。

xy=aeq\f(117-66x,10)

=-eq\f(1,10)(66x2-117x)

=-eq\f(33,5)(x2-eq\f(39,44)a)

=-eq\f(33,5)(x-eq\f(39,44))2+eq\f(4563,880),

则当x=eq\f(39,44)时，xy有最大值为eq\f(4563,880)。

思路二：判别式法

设xy=p，得到y=eq\f(p,x),代入已知条件关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。

66x+10y=117,

66x+10*eq\f(p,x)=117,

66x2-117x+10p=0,对x的二次方程有：

判别式△=1172-4*66*10p≥0,即：

p≤eq\f(1172,4*66*10)=eq\f(4563,880),

此时xy=p的最大值=eq\f(4563,880)。

思路三：三角换元法

将xy表示成三角函数，进而得xy的最大值,对于本题设:

66x=117cos2t，

10y=117sin2t，则：

x=eq\f(117,66)cos2t,y=eq\f(66,10)sin2t,代入得：

xy=eq\f(117,66)cos2t*eq\f(66,10)sin2t,

=eq\f(1,4)*eq\f(117,66)*eq\f(66,10)*(4cos2t*sin2t),

=eq\f(1172,4*66*10)*sin22t,

当sin2t=±1时，xy有最大值=eq\f(4563,880)。

思路四：中值代换法

设66x=eq\f(117,2)+t?,10y=eq\f(117,2)-t?，则：

x=eq\f(1,66)(eq\f(117,2)+t?),y=eq\f(1,10)(eq\f(117,2)-t?),此时：

xy=eq\f(1,66)(eq\f(117,2)+t?)*eq\f(1,10)(eq\f(117,2)-t?)

=eq\f(1,66*10)(eq\f(1172,4)-t?2)。

当t?=0时，即：

xy≤eq\f(1172,4*66*10)=eq\f(4563,880),

则:xy的最大值为eq\f(4563,880)。

思路五：不等式法

当x，y均为正数时，则：

∵66x+10y≥2eq\r(66*10*xy),

∴(66x+10y)2≥4*66*10xy,

1172≥4*66*10xy,即：

xy≤eq\f(1172,4*66*10)=eq\f(4563,880),

则xy的最大值为:xymax=eq\f(4563,880)。

思路六：数形几何法

如图，设直线66x+10b=117上的任意一点P(x?,y?),op与x轴的夹角为θ，则：

y

p(x?,y?)

o x

66x?+10y?=117,

y?=x?tanθ,

66x?+10x?tanθ=117，即：

x?=eq\f(117,66+10tanθ),

|x?*y?|=1172*eq\f(|tanθ|,(66+10tanθ)2),

=eq\f(1172,\f(4356,|tanθ|)+2*66*10+100|tanθ|),

≤eq\f(1172,2*66*10+2*66*10)=eq\f(4563,880)，则：

xy的最大值=eq\f(4563,880).

思路七:构造函数法

设函数：f(x,y)=xy-λ*(66x+10y-117),则偏导数：

fx=y-66λ,fy=x-10λ,

fλ=66x+10y-117。

令fx=fy=fλ=0，则：

y=66λ,x=10λ。进一步代入得：

66λ+66λ=117,即λ=eq\f(39,44).

则：x=10*eq\f(39,44),b=66*eq\f(39,44).

xymax=10*66*(eq\f(39,44))2=eq\f(4563,880)。