湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期3月综合自主测试数学试题 含解析.docx

雅礼中学2025届高三3月综合自主测试（信心卷）

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号?姓名?考场号?填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

3.考试结束，监考员将试题卷?答题卡一并收回.

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知随机变量，若，则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据二项分布的期望、方差列方程，从而求得.

【详解】根据分布列方差的性质得：，

依题意知，满足二项分布，

所以，，

所以，解得，或（舍去）.

故选：D.

2.已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.

【详解】因为，则，

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所以在方向上的投影向量坐标为.

故选：B.

3.已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】设直线方程并与抛物线方程联立，利用判别式等于0即可求解.

【详解】由题意知：，设直线方程为,

联立方程,消x得

直线与抛物线只有一个公共点，解得,

方程可得公共点的纵坐标为.

故选：B

4.斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81

平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立

方分米1升）（）

A.39升B.156升C.201升D.210升

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正棱台的侧面积及体积公式求解即得.

【详解】设米斗的下底面边长为分米，高为分米，

由上底面的面积为81平方分米，得上底面边长为9分米，

由侧面积为120平方分米，侧高为5分米，得平方分米，解得，

即该米斗的下底面边长为3分米，因此分米，

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则该米斗的体积为立方分米，

所以该斗可以装米156升.

故选：B

5.下列四个条件中，使成立的充要条件是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用赋值法易判断ABC，利用函数在上单调递增，可判断D.

【详解】对于A，由，得，

反之，当时，不能推出，

故是成立的充分不必要条件，故A错误；

对于B，当时，不成立，故不是成立的充分条件，

反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，故B错误；

对于C，当时，成立，但不成立，所以是成立的不充分条件，

反之，满足成立，但不成立，所以是成立的不必要条件，

所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；

对于D，由在上单调递增，可得是的充要条件，故D正确.

故选：D．

6.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如

1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一

形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个

球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（）

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A.190B.171C.153D.136

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考等差数列公式即可求解.

【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列，

，，，，，…，

由此得，即，则，

所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为171.

故选：B.

7.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则

（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】代点求解出，然后对函数进行求导，对应求解出，最后求解.

【详解】由已知，，

故，

，

则切线斜率为，故，

所以．

故选：B.

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8.设函数，若对于任意的，都有，则的最

小值为（）

A4B.2C.1D.

【答案】B

【解析】

【分析】由可得在和处取得最值，再由图象性质可得的

最小值为半