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圆中的基本概念和性质

圆中的基本概念和性质

一、圆1、定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．通

常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”⊙O“，读作”圆O“．2、

点与圆的位置关系

1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、

点在圆外dr点A在圆外；3、性质（1）对称性

①轴对称图形：经过圆心的任一条直线是它的对称轴；②中心对称图形：对称中心

是圆心；

③旋转对称图形：无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）垂径定理

①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．②推论1：⑴

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过

圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．③推论

2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

问题：若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形，若一个圆经

□ABCD四个顶点，则

□ABCD是_________________形

解题技巧：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，

根据垂径定理与勾股

a

定理有：r2d2()2，根据此公式，在a，r，d三个量中知道任何两个量就可以求

出第三个量．

2

（3）圆心角和圆周角①圆心角、圆周角的定义

②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相

等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．推论

3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

③圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的

弧相等，所对的弦相

等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一

组量相等，那么

它们所对应的其余各组量分别相等．

题型一：圆的定义

1.点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是

题型二：圆周角定理圆周角圆心角

例1.(2019浙江温州)如图，已知ACB是⊙O的圆周角，ACB50，则圆心角

AOB是．

O

B

．

A

⊙O是ABC的外接圆，CB的大小为__________．变式练习1：(09四川凉山)如图，

已知ABO50，则A

上不同于点C的变式练习2：(宜宾中考)已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正

方形，点P是劣弧CD

任意一点，则BPC的度数是()

A.45B.60C.75D.90

P

40，则变式练习3：(08龙岩)如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的度数分

别是70、1的度数为

_________．

CD的变式练习4：（2019海淀期末考试）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的

弦．若BAD23，则A

大小为（）

A．23B．57C．67D．77

变式练习5：在足球比赛中，甲乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到

A点时，乙也跟随冲到

B点，此时甲是自己直接射门好？还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？（不考虑

其他因素）

半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径

例2.(07重庆)已知，如图：AB为⊙O的直径，ABAC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于

点E，BAC45．给出以下五个结论：