2024年高考数学一轮复习考点规范练34基本不等式及其应用含解析新人教A版.docxVIP

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考点规范练34基本不等式及其应用

基础巩固

1.下列不等式肯定成立的是()

A.lgx2+14lgx

B.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k

C.x2+1≥2|x|(x∈R)

D.1x2+11(

答案:C

解析:因为x0,所以x2+14≥2·x·

所以lgx2+14≥

当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;

由基本不等式可知选项C正确;

当x=0时,1x2

故选项D不正确.

2.若正数x,y满意1y+3x=1,则3x+4

A.24 B.28 C.25 D.26

答案:C

解析:∵正数x,y满意1y+

∴3x+4y=(3x+4y)1y+3x=13+3xy+12yx≥13+

∴3x+4y的最小值是25.故选C.

3.已知a0,b0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是(

A.3 B.4 C.5 D.6

答案:B

解析:由题意知ab=1,

则m=b+1a=2b,n=a+1b=2

故m+n=2(a+b)≥4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).

4.小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()

A.avab B.v=ab

C.abva+b2

答案:A

解析:设甲、乙两地相距s,则小王来回两地用时为sa

从而v=2

∵0ab,∴ab

∴2a+

∴avab

5.已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a0,b0)对称,则1a+4

A.8 B.9 C.16 D.18

答案:B

解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.

所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba

6.若两个正实数x,y满意2x+1y=1,且x+2ym2+2m恒成立,则实数

A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)

C.(-2,4) D.(-4,2)

答案:D

解析:因为x0,y0,2x+

所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2

当且仅当4yx=xy,即

由x+2ym2+2m恒成立,

可知m2+2m8,即m2+2m-80,

解得-4m2.

7.设x,y∈R,a1,b1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1

A.2 B.32 C.1

答案:C

解析:由ax=by=3,1

又a1,b1,所以ab≤a+

所以lg(ab)≤lg3,从而1x+1y≤lg3

8.已知x1,则logx9+log27x的最小值是.?

答案:2

解析:∵x1,∴logx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3≥

∴logx9+log27x的最小值为2

9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.?

答案:58

解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25

所以yx≤18-225=8,当且仅当x=

10.已知正数a,b满意2a2+b2=3,则ab2+1的最大值为

答案:2

解析:ab2+1=22×2ab2+1≤22×

当且仅当2a=b2+1,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=

故ab2+1

11.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为

答案:1

解析:因为2a0,18b

所以2a+18b=2a+2-3b≥22a·

当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.

因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.

所以2a+18b≥22-6=

实力提升

12.若不等式2x2-axy+y2≥0对于随意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是()

A.a≤22 B.a≥22 C.a≤113 D.

答案:A

解析:因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,

所以2xy2-axy

令t=xy,则不等式变为2t2-at+1≥0

由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈1

即2t2-at+1≥0在t∈13

由2t2-at+1≥0可得a≤2

即a≤2t+1

又2t+1t≥22t

当且仅当2t=1t,即t=22时等号成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a≤2

13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对随意实数x,y都成立,则实数a的最小值为(

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

解析:令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,

即f(y)max=4.

∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对随意实数x,

∴2x+a2x≥f(y)

∴a≥-(2x)2+4×2x=