高中数学-二面角.docVIP

二面角的求法

知识综述

二面角的类型和求法可用框图展现如：

一、定义法：

PO

P

O

B

A

例、如图,二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

二、三垂线定理法：

二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

例、如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.

A

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

E

O

CDPMBA例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求〔1〕二面角P—BC—

C

D

P

M

B

A

图4B1AA1BLEF例、如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，AB=2，AA1=1，BB1=eq\r(2)，求：二面角A1－AB－B1

图4

B1

A

A1

B

L

E

F

P

P

l

C

B

A

三、垂面法：

二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；

例、空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.

四、射影法：〔面积法〕

利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

A

A

H

M

D1

C1

B1

A1

B

C

D

五、平移或延长〔展〕线〔面〕法

对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法〔尤其要考虑射影法〕。

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，

PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

课堂练习

A组练习

1.正方体AC1中M是BC中点，求二面角D1—AB1—M的平面角的正切值.

2.如图，正方形边长为a，以BD为折痕，折成直二面角，A—BD—C，连AC

〔1〕求B—AC—D大小；〔2〕求A—BC—D大小.

3.ABC为等腰直角三角形，∠C=900.PA⊥面ABC，AC=a.PA=a.求A—PB—C大小.

4.直三棱柱棱长均相等.∠ADC1=900.求D—AC1—C大小.

5．如图，在底面为平行四形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕求证：平面；

〔Ⅲ〕求二面角的大小.

B组练习

1．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，那么该二面角的大小为()

A．150° B．45°

C．60° D．120

2.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB＝eq\r(3)，求平面ASD与平面BSC所成二面角的大小．

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．

(1)证明：PC⊥平面BEF.

(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．

4.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.

(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；

(2)证明AF⊥平面A1ED；

(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．

5.如下图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为eq\f(\r(2),2)a，D是棱A1C1的中点．

(1)求证：BC1∥平面AB1D；(2)求二面角A1－AB1－D的大小；

6．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.

(1)求a的值；

(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．

7.