第六章　微点突破4　变力做功.docx

变力做功

求变力做功的常用方法

1.“微元法”求变力做功

将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功。如图所示，质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W克f＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。

例1(多选)(2024·山东泰安市检测)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后静止释放摆球。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小Ff不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是()

A.重力做功为mgL

B.悬线的拉力做功为0

C.空气阻力做功为－mgL

D.空气阻力做功为－12Ffπ

答案ABD

解析根据W＝Flcosα，摆球下摆过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，使用微元法得空气阻力做功为－Ff·12πL＝－12FfπL，C错误，

2.“平均力”求变力做功

当力的方向不变而大小随位移线性变化时，可先求出力在这段位移中的平均值F＝F1＋F22，再由W

例2野山鼠擅长打洞，假设野山鼠打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L成正比，即Ff＝kL(k为比例常数)，则野山鼠打到洞深d的过程中，需要克服阻力做的功为()

A.kd2 B.kd22 C.2kd

答案B

解析由于打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L成正比，则野山鼠打到洞深d的过程中，需要克服阻力做的功为W＝Ff·d＝kd2d＝kd

3.“图像法”求变力做功

在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线与x轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。如图所示，一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x1，F－x图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0＋F

例3一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为()

A.3J B.6J

C.7J D.8J

答案B

解析力F对物体做的功等于F－x图线与横轴所围面积的代数和，0~4s这段时间内力F对物体

做的功为W1＝12×(3＋4)×2J＝7J，4~5s这段时间内力F对物体做的功为W2＝－12×(5－4)×2J＝－1J，全过程中，力F对物体做的功为W＝W1＋W2＝7J－1J＝6J，故选

4.“转化法”求变力做功

通过转换研究对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcosα求解，如轻绳通过光滑轻质定滑轮拉物体运动过程中拉力做功问题。如图所示，恒力F把放在光滑水平面上的物体从A拉到B，因轻绳对物体做的功等于拉力F对轻绳做的功，故轻绳对物体做功W＝F(hsinα

例4如图所示，一辆拖车通过光滑轻质定滑轮将一重为G的物体匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ角，不计空气阻力，求此过程中拖车对绳子所做的功。

答案1-cosθ

解析拖车对绳子做的功等于绳子对物体做的功，以物体为研究对象，由于整个过程中物体匀速运动，所以绳子的拉力大小FT＝G。物体上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB减去开始时的绳长OA，即l＝ssinθ－stanθ，所以绳子对物体做的功W＝FTl＝

其他求变力做功的方法

(1)当发动机功率一定，求发动机做功用W＝Pt。

(2)利用动能定理求变力做功WF＋W其他力＝ΔEk。

1.(2025·山东烟台市龙口市段考)水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是()

A.拉力F对小球做的功为16πJ

B.拉力F对小球做的功为8πJ

C.小球克服摩擦力做的功为16πJ

D.小球克服摩擦力做的功为4πJ

答案A

解析将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，

所以W1＝Fl1cos37°，W2＝Fl2cos37°，…

Wn＝Flncos37°

故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos3