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随机过程试卷

（考试时间：90分钟，满分：100分）

一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）

1.马尔可夫链中，状态转移概率矩阵的主对角线元素之和为1，这是因为（）。

A.每个状态的概率之和为1

B.状态转移概率之和为1

C.主对角线元素表示状态自身转移的概率

D.马尔可夫链的任意状态都可以转移到自身

2.在随机过程中，若X(n)表示第n次试验的结果，则E[X(n)]表示的是（）。

A.第n次试验的期望值

B.所有试验结果的平均值

C.第n次试验的结果

D.随机过程的期望值

3.对于一个离散时间随机过程{Xn}，若E[Xn^2]有限，则称该过程是（）。

A.二阶矩过程

B.广义平稳过程

C.马尔可夫过程

D.独立增量过程

4.在布朗运动中，粒子的位移服从（）。

A.正态分布

B.二项分布

C.泊松分布

D.均匀分布

5.设随机过程{X(t),t≥0}是独立增量过程，且X(0)=0，则对任意的0≤st，X(t)X(s)与X(s)（）。

A.相互独立

B.不相互独立

C.必然相等

D.必然不等

6.在随机过程理论中，各态历经性是指（）。

A.过程的每个状态都以相同的概率出现

B.过程的每个状态都经历一次

C.过程的统计特性随时间的平均与时间无关

D.过程的统计特性随时间的平均等于空间的平均

7.对于一个随机过程{X(t),t≥0}，若对任意的t1t2t3tn，随机变量X(t1),X(t2)X(t1),,X(tn)X(tn1)相互独立，则称该过程为（）。

A.独立增量过程

B.马尔可夫过程

C.平稳过程

D.独立同分布过程

8.在随机过程中，若{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且每个Xn都有相同的分布函数F(x)，则称{Xn}是（）。

A.独立增量过程

B.马尔可夫链

C.平稳过程

D.独立同分布过程

9.对于一个随机过程{X(t),t≥0}，若对任意的t1t2t3tn，随机变量X(t1),X(t2)X(t1),,X(tn)X(tn1)相互独立，且每个增量都有相同的分布函数F(x)，则称该过程为（）。

A.独立增量过程

B.马尔可夫过程

C.平稳过程

D.独立同分布过程

10.在随机过程理论中，遍历性是指（）。

A.过程的每个状态都以相同的概率出现

B.过程的每个状态都经历一次

C.过程的统计特性随时间的平均与时间无关

D.过程的统计特性随时间的平均等于空间的平均

二、填空题（5小题，每小题2分，共10分）

11.马尔可夫链中，状态转移概率矩阵的主对角线元素之和为1，这是因为每个状态的概率之和为1。

12.在随机过程中，若X(n)表示第n次试验的结果，则E[X(n)]表示的是第n次试验的期望值。

13.对于一个离散时间随机过程{Xn}，若E[Xn^2]有限，则称该过程是二阶矩过程。

14.在布朗运动中，粒子的位移服从正态分布。

15.设随机过程{X(t),t≥0}是独立增量过程，且X(0)=0，则对任意的0≤st，X(t)X(s)与X(s)相互独立。

三、解答题（3小题，每小题10分，共30分）

16.设随机过程{X(t),t≥0}是独立增量过程，且X(0)=0。证明：对任意的0≤st，X(t)X(s)与X(s)相互独立

四、计算题（3小题，每小题10分，共30分）

17.设随机过程X(t)=tZ，其中Z是标准正态随机变量。计算E[X(t)]和Var[X(t)]。

18.设随机过程Y(t)=sin(ωt+θ)，其中ω是常数，θ是(0,2π)上均匀分布的随机变量。计算E[Y(t)]和Cov[Y(s),Y(t)]。

19.设随机过程X(t)是布朗运动，Y(t)=exp(X(t))。计算E[Y(t)]。

五、证明题（3小题，每小题10分，共30分）

20.设随机过程X(t)是独立增量过程，且X(0)=0。证明：对任意的0≤st，X(t)X(s)与X(s)相互独立。

21.设随机过程X(t)是布朗运动，Y(t)=exp(X(t))。证明：Y(t)是几何布朗运动。

22.设随机过程X(t)是离散时间马尔可夫链，状态空间为{0,1,2,,N}。证明：X(t)的极限分布存在且唯一。

六、应用题（3小题，每小题10分，共30分）

23.设随机过程X(t)是布朗运动，Y(t)=X(t)2。计算E[Y(t)]和Var[Y(t)]。

24.设随机过程X(t)是离散时间马尔可夫链，状态空间为{0,1,2,,N}。给定初始分布和状态转移概率矩阵，计算X(t)的分布。

25.设随机过程X(t)是独立增量过程，且X(0)=