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广东仲元中学2023学年第二学期高一年级期中考试

数学试题

一．单选题（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若，则复数的虚部为（）

A. B. C.1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先化简复数，再求复数的虚部.

【详解】由条件可知，，所以的虚部为1.

故选：C

2.若，，，的夹角为，则等于（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据数量积的定义，即可得出答案.

【详解】由已知可得，.

故选：B.

3.已知向量的夹角为且|，，则在上投影向量的坐标为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.

【详解】依题意，在上投影向量为，其中，

所以在上投影向量坐标为.

故选：C

4.在中，若，则的形状一定是（）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项.

【详解】因为，故，

整理得到，

故，故或，

即或，故的形状为等腰或直角三角形，

故选：D.

5.如图所示，在空间四边形中，点，分别是边的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下结论正确的是（）

A.与平行；

B.与共面；

C.与的交点可能在直线上，也可能不在直线上；

D.与的交点一定在直线上．

【答案】BD

【解析】

【分析】如图所示．连接，，依题意，可得，，即可得出共面，又，可得与必相交，从而可判断出选项A和B的正误；设交点为，可得点在平面与平面的交线上，又是这两个平面的交线，即可得出点一定在直线上，从而判断出选项C和D的正误，即可求解．

【详解】如图所示．连接，，

依题意，可得，，

所以，

所以共面，所以选项B正确，

因为，

所以四边形EFGH是梯形，与必相交，所以选项A错误，

设与的交点为，

因为点在上，故点在平面上．

同理，点在平面上，

所以点在平面与平面的交线上，

又是这两个平面的交线，所以点一定在直线上，故选项C错误，选项D正确，

故选：BD．

6.如图，在中，，点是的中点．设，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的线性运算即可求得答案.

【详解】由题意在中，，点是的中点，

故

，

故选：A

7.阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据球的体积公式求出半径，根据圆柱的体积公式可求得结果.

【详解】设球的半径为，则，所以，

所以圆柱的底面半径为，圆柱的高为，

所以圆柱的体积为.

故选：C

8.已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】作图得出区域D，然后根据向量关系得出，，然后表示出，根据和的关系可得出，，进而得出，根据“1”的代换，即可得出答案.

【详解】

如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得，

，

作，，，，

则四边形，，均为平行四边形.

由题意可知:点组成的区域D为图中的四边形及其内部.

因为，，，

所以，，，，

所以，，，

所以，.

又，则.

所以，.

因为四边形的面积，

所以，即，

，

当且仅当时取等号.

的最小值为4.

故选：A.

二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.在中，已知，，，则角的值可能为（）

A. B. C. D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦