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吉林省八校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数在复平面内对应的点位于（）

A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，即可求解.

【详解】，其在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

2.已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件利用模平方求出数量积，再结合投影向量的定义即可求解.

【详解】由已知，且，

则，

解得，

故在上的投影向量是＝.

故选：B.

3.如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（）

A.2 B. C.4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用斜二测画法的定义通过的长确定OA，OB的长，再求出的面积.

【详解】∵在轴上，在轴上，

∴在x轴上，在y轴上，

，，如图，

∴.

故选：B.

4.已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（）

A. B. C.4 D.8

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件，复数和是关于x的一元二次方程的两个根，结合方程的根与系数关系即可求解.

【详解】复数是关于x的一元二次方程的一个根，

则方程的另一根为，

故，解得.

故选：A.

5.设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若，则

B.若，且，则

C.若，，则

D.若，，，则

【答案】D

【解析】

【分析】ABC项，利用长方体模型找到反例即可；D项，由线面平行的性质定理可得.

【详解】如图，长方体中，记平面为.

A项，若，则或.

如：图中设为直线，为直线，

则，但，不满足，故A不正确；

B项，由，且，不一定垂直.

如：设图中平面为平面，设为直线，为直线，

则，且，但，不满足，故B不正确；

C项，若，，则或，

如：设图中平面为平面，设为直线，为直线，

则，但，不满足，故C不正确；

D项，若，，，

由线面平行的性质定理可得，所以D正确.

故选：D.

6.如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（）

A.30米 B.米 C.米 D.米

【答案】A

【解析】

【分析】设，用表示，再利用余弦定理列式计算即得.

【详解】设，依题意，，，

在中，由余弦定理得，

即，整理得，解得，

所以雁鸣塔的高度为30米.

故选：A

7.如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案.

【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面，

连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，

设，则，

又由得，则，

则有，

故，

则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是.

故选：C.

8.如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由于点E在弧上运动，引入恰当的变量，从而表达，再利用正弦定理来表示边，来求得周长关于角的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心为原点的坐标系，同样设出动点坐标，用坐标法求出距离，然后同样把周长转化为关于角的函数，进而求出取值范围.

【详解】

（法一）如图，连接设，则，，

故．在中，由正弦定理可得，

则．

在中，由正弦定理可得，则．

平行四边形的周长为

．

因为，所以，所以，所以，

所以，则，

即平行四边形BCDE的周长的