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桂林高一数学试卷及答案

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1.若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为（）。

A.0

B.-2

C.-3

D.2

答案：B

2.已知函数f(x)=2x+3，g(x)=x^2-4x+5，若f[g(x)]=5x+6，则x的值为（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：A

3.已知等差数列{an}的前三项为1，2，3，则该数列的通项公式为（）。

A.an=n

B.an=n+1

C.an=2n-1

D.an=2n

答案：C

4.若复数z满足|z|=1，则z的平方的模长为（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：A

5.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a+b的坐标为（）。

A.(4,1)

B.(2,1)

C.(-2,-3)

D.(-1,3)

答案：A

6.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上单调递增，则实数k的取值范围为（）。

A.k≤0

B.k≥2

C.k≤1

D.k≥1

答案：C

7.已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=f(b)，则a+b的值为（）。

A.4

B.2

C.3

D.1

答案：A

8.若直线l:y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k的取值范围为（）。

A.-1≤k≤1

B.-√2≤k≤√2

C.-1k1

D.-√2k√2

答案：D

9.若a，b，c是等比数列，且a+b+c=3，b^2=ac，则b的值为（）。

A.1

B.3

C.9

D.-3

答案：A

10.若函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，且f(x)=3x^2-12x+9，则f(1)的值为（）。

A.0

B.3

C.6

D.9

答案：A

11.已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a0,b0)的离心率为√2，则a与b的关系为（）。

A.a=b

B.a=2b

C.b=2a

D.b=√2a

答案：D

12.已知抛物线y^2=4x的焦点为F，点P(1,2)在抛物线上，则|PF|的值为（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若函数f(x)=x^3+3x^2-9x-5，且f(x)=3x^2+6x-9，则f(-3)的值为______。

答案：0

14.已知等比数列{an}的前三项为2，6，18，则该数列的公比q为______。

答案：3

15.若直线l:x+y-1=0与圆x^2+y^2-2x-3y+2=0相交于点A，B，则弦长|AB|为______。

答案：2√2

16.若椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)的离心率为√3/3，则a与b的关系为b^2=2/3a^2。

答案：b^2=2/3a^2

三、解答题（本题共4小题，共70分）

17.（本题满分15分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求证：函数f(x)在区间[0,2]上单调递增。

证明：首先求导数f(x)=3x^2-6x+2，令f(x)0，解得x2或x1/3。由于x∈[0,2]，所以f(x)0在[0,2]上恒成立，因此函数f(x)在区间[0,2]上单调递增。

18.（本题满分15分）已知等差数列{an}的前三项为1，2，3，求该数列的前n项和Sn。

解：已知等差数列{an}的公差d=1，首项a1=1，根据等差数列前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，代入得Sn=n/2(2+(n-1))=n^2/2+n/2。

19.（本题满分20分）已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a0,b0)的离心率为√2，且过点(2,1)，求双曲线的方程。

解：已知离心率e=√2，根据双曲线的性质，有c^2=a^2+b^2，又e=c/a，所以c=a√2。代入得2a^2=a^2+b^2，即b^2=a^2。又双曲线过点(2,1)，代入得4/a^2-1/b^2=1，解得a^2=4，b^2=4。所以双曲线的方程为x^2/4-y^2/4=1。

20.（本题满分20分）已知抛物线y^2=4x的焦点为F，点P(1,2)在抛物线上，求过点P且与抛物线相切的直线方程。

解：设过点P且与抛物线相切的直线方程为y-2=k(x-1)，即y=kx+2-k。将直线方程代入抛物线方程得(kx+2-k)^2=4x，整理得k^2x^2+(4-2k^2)x+(4-4k+k^2)=0。由于直线与抛物线相切，所以该二次方程有唯一解，即判别式Δ=0，即(4-2k^2)^2-4k^2(4-4k+k^2)=0。解得k=1或k=3/4。所以过点P且与