(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题06 三角函数(讲义)（解析版）.doc

专题06三角函数(讲义)

一、任意角和弧度制及三角函数的概念

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.

(2)分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

(2)公式

角α的弧度数公式

|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)

角度与弧度的换算

1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))

弧长公式

弧长l＝|α|r

扇形面积公式

S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2

3.任意角的三角函数

(1)定义

前提

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)

定义

正弦

y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y

余弦

x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x

正切

eq\f(y,x)叫做α的正切函数，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)

三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数

(2)定义的推广

设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r0)，那么sinα＝eq\f(y,r)；cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).

常用结论：

1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.

3.象限角

4.轴线角

二、诱导公式及三角恒等变换

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2.三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sin__α

－sin__α

sin__α

cos__α

cos__α

余弦

cosα

－cos__α

cos__α

－cos__α

sin__α

－sin__α

正切

tanα

tan__α

－tan__α

－tan__α

口诀

奇变偶不变，符号看象限

常用结论：

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.

cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.

tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2sin__αcos__α.

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).

常用结论：

1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).

2.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).

3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，

1－sin2α＝(sinα－cosα)2，

sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α