(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题16 空间向量及其应用（练习）（解析版）.doc

专题16空间向量及其应用（练习）

一、填空题

1．（2022·河南·禹州市高级中学高二阶段练习）有三点、、，则与向量、同时垂直的单位向量为______．

【答案】或

【分析】先利用题意算出，，设与向量、同时垂直的向量为，利用垂直关系算出，即可得到答案

【解析】解：因为、、，

所以，，

设与向量、同时垂直的向量为，

所以，令，解得，

所以，

所以与向量、同时垂直的单位向量为或

故答案为：或

2．（2022·上海市七宝中学高二开学考试），，，若，，三向量共面，则实数_________.

【答案】

【分析】根据空间向量共面列出方程组，求出.

【解析】，，，若，，三向量共面，

设，

即，

所以，解得:，所以.

故答案为：5

3．（2019·上海市七宝中学高三开学考试）PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________

【答案】

【解析】设直线PC与平面PAB所成的角为，根据三余弦定理得

4．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）已知，点，若平面，则点P的坐标为__________．

【答案】

【分析】求出向量，根据平面，可得，可得方程组，求得答案.

【解析】因为，

所以，

因为平面，

所以，

所以点P的坐标为．

故答案为：

5．（2022·山东·汶上县第一中学高二阶段练习）已知是棱长为2的正方体内切球的一条直径，则_________．

【答案】2

【分析】设该正方体的内切球的球心为O，由，结合向量数量积运算求得正确答案.

【解析】因为正方体的棱长为2，所以其内切球的半径．

又球心一定在该正方体的体对角线的中点处，且体对角线长为，

所以设该正方体的内切球的球心为O，则，

易知，

所以．

故答案为：

6．（2019·上海·同济大学第一附属中学高二期末）是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________

【答案】

【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.

【解析】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

设平面的法向量是，

，

∴由，可得

取得，

，

∴到平面的距离.

故答案为：.

【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.

7．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，平面，，，若三棱锥的外接球体积为，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

【答案】##0.5

【分析】根据给定条件，确定出三棱锥外接球球心并求出球半径，再借助空间向量计算作答.

【解析】在三棱锥中，因平面，平面，则，，而，

，平面，因此，平面，又平面，则，

取PC中点O，连接BO，AO，如图，于是得，即有O是三棱锥的外接球球心，

由得：，，而，则有，

而，，则，

从而有，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：

8．（2022·湖北孝感·高二阶段练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则________.

【答案】1

【分析】根据给定条件，利用空间向量的一个基底表示，再利用数量积运算律计算作答.

【解析】正八面体ABCDEF中，不共面，而P，Q分别为棱AB，AD的中点，

有，，则，

，

.

故答案为：1

9．（2022·全国·高三专题练习）已知是空间单位向量，，若空间向量满足且对任意、，则x0＝________，y0＝________，________.

【答案】????1????2????2

【分析】根据最值的定义，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.

【解析】由可知：

当时，有最小值1，

因为是空间单位向量，,空间向量满足,

所以,

显然当时，有最小值，最小值为1，所以，

解得：，即当时成立，因此.

故答案为：1；2；.

10．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期末）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.

【答案】

【解析】建立坐标系如图所示.设，则.设，则，

由于异面直线所成角的范围为，

所以.，

令，则，当时取等号.

所以，当时，取得最大值.

考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式.

11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，，．将A，C分别沿BE，DF向上翻折至，则取最小值时，二面角的正切值