25春人教版七年级下册数学 专题7.3 平行线的判定与性质的综合（压轴题专项讲练）（人教版2024）（解析版）.docx

专题7.3平行线的判定与性质的综合

典例分析

典例分析

【典例1】【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

（1）如图①，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED．试探究∠BED与∠B、

（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若AB∥CD，点E、F为直线AB、CD之间两个点，连接BE、EF、CF，∠E=80°，求

（3）【拓展延伸】如图③，如图，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，BE、CF的反向延长线相交于点H，∠G=∠H+30°，求

【思路点拨】

本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；

（1）过E作ET∥AB，根据平行线的性质求解即可；

（2）如图，过E作EK∥AB，过F作FT∥CD，证明AB∥EK∥FT∥

（3）如图，分别过B,C作AB，CD的垂线，由（1）可得：∠BHC=∠5+∠6，∠G=∠3+∠4，证明∠3=2∠1-90°，∠4=2∠2-90°，∠5=∠EBT=90°-∠1，∠6=∠SCF=90°-∠2，可得∠3+∠4=∠5+∠6+30°，可得∠1+∠2=130°，过H作AB的平行线，而AB∥CD，可得

【解题过程】

（1）解：∠BED=∠B+∠D，理由如下：

过E作ET∥AB，如图，

??

∵AB∥CD，

∴ET∥AB∥CD，

∴∠B=∠BET，

∴∠B+∠D=∠BET+∠DET，

即∠BED=∠B+∠D；

（2）如图，过E作EK∥AB，过F作

∵AB∥

∴AB∥

∴∠B=∠BEK，∠TFE=∠KEF，∠C+∠TFC=180°，

∵∠BEF=80°，

∴∠B+∠EFT=∠BEF=80°，

∴∠B+∠EFT+∠TFC+∠C=∠B+∠EFC+∠C=80°+180°=260°．

（3）如图，分别过B,C作AB，CD的垂线KT，RS，

∴∠ABT=90°=∠DCS，

∵AB∥

∴KT∥

由（1）可得：∠BHC=∠5+∠6，∠G=∠3+∠4，

∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，

∴∠ABG=2∠1，∠DCG=2∠2，

∴∠3=2∠1-90°，∠4=2∠2-90°，∠5=∠EBT=90°-∠1，∠6=∠SCF=90°-∠2，

∵∠G=∠BHC+30°

∴∠3+∠4=∠5+∠6+30°，

∴2∠1-90°+2∠2-90°=90°-∠1+90°-∠2+30°，

∴∠1+∠2=130°，

过H作AB的平行线，而AB∥

∴HR∥

∴∠1=∠BHK，∠2=∠CHR，

∴∠1+∠2+∠BHC=∠BHK+∠BHC+∠CHR=180°，

∴∠BHC=180°-∠1+∠2

学霸必刷

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1．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点E在BA延长线上，EC与AD交于点F，且∠E=∠DCE，∠B=∠D，∠EFA是∠FCB的余角的5倍，点M是线段CB上的一动点，点N是线段MB上一点且满足∠MNF=∠MFN，FK平分∠EFM．下列结论：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④∠D+∠E=105°

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【思路点拨】

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，三角形的内角和定理的应用．

由∠E=∠DCE，可得BE∥CD，故结论①正确；证明∠EAD=∠B，可得AD∥CB，故结论②正确；证明∠AFN=∠MFN，可得FN平分∠AFM，故结论③正确；由∠EFA=∠FCB，结合∠EFA是∠FCB的余角的5倍，可得∠FCB=75°=∠EFA，进一步可得结论④正确；证明∠MFK=1

【解题过程】

解：∵∠E=∠DCE，

∴BE∥CD，故结论

∴∠EAD=∠D，

∵∠B=∠D，

∴∠EAD=∠B，

∴AD∥CB，故结论

∴∠AFN=∠FNM，

∵∠MNF=∠MFN，

∴∠AFN=∠MFN，

∴FN平分∠AFM，故结论③正确；

∵AD∥

∴∠EFA=∠FCB，

∵∠EFA是∠FCB的余角的5倍，

∴∠EFA=590°-∠FCB

∴∠FCB=75°=∠EFA，

∵∠B=∠D，∠B+∠E+∠FCB=180°，

∴∠D+∠E=∠B+∠E=180°-∠FCB=180°-75°=105°，故结论④正确；

∵FK为∠EFM的平分线，

∴∠MFK=1

∵FN平分∠AFM，

∴∠MFN=1

∴∠KFN=∠MFK-∠MFN=12∠EFA+

综上所述，正确的结论有①②③④．

故选：C．

2．（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥