58g+39h=118,计算ab最大值的7种方法.docVIP

已知58g+39h=118,求ab最大值的方法

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算gh在58g+39h=118条件下的最大值。

主要公式：

1.sin2a+cos2a=1；

2.ab≤eq\f((a+b)2,2)；

3.二次方程根的判定定理；

4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换h=eq\f(118-58g,39)，得到关于g的函数，再配方并根据二次函数性质得gh的取值范围。

gh=aeq\f(118-58g,39)

=-eq\f(1,39)(58g2-118g)

=-eq\f(58,39)(g2-eq\f(59,58)a)

=-eq\f(58,39)(g-eq\f(59,58))2+eq\f(3481,2262),

则当g=eq\f(59,58)时，gh有最大值为eq\f(3481,2262)。

思路二：判别式法

设gh=p，得到h=eq\f(p,g),代入已知条件关于g的函数，并根据二次函数性质得gh的取值范围。

58g+39h=118,

58g+39*eq\f(p,g)=118,

58g2-118g+39p=0,对g的二次方程有：

判别式△=1182-4*58*39p≥0,即：

p≤eq\f(1182,4*58*39)=eq\f(3481,2262),

此时gh=p的最大值=eq\f(3481,2262)。

思路三：三角换元法

将gh表示成三角函数，进而得gh的最大值,对于本题设:

58g=118cos2t，

39h=118sin2t，则：

g=eq\f(118,58)cos2t,h=eq\f(58,39)sin2t,代入得：

gh=eq\f(118,58)cos2t*eq\f(58,39)sin2t,

=eq\f(1,4)*eq\f(118,58)*eq\f(58,39)*(4cos2t*sin2t),

=eq\f(1182,4*58*39)*sin22t,

当sin2t=±1时，gh有最大值=eq\f(3481,2262)。

思路四：中值代换法

设58g=eq\f(118,2)+t?,39h=eq\f(118,2)-t?，则：

g=eq\f(1,58)(eq\f(118,2)+t?),h=eq\f(1,39)(eq\f(118,2)-t?),此时：

gh=eq\f(1,58)(eq\f(118,2)+t?)*eq\f(1,39)(eq\f(118,2)-t?)

=eq\f(1,58*39)(eq\f(1182,4)-t?2)。

当t?=0时，即：

gh≤eq\f(1182,4*58*39)=eq\f(3481,2262),

则:gh的最大值为eq\f(3481,2262)。

思路五：不等式法

当g，h均为正数时，则：

∵58g+39h≥2eq\r(58*39*gh),

∴(58g+39h)2≥4*58*39gh,

1182≥4*58*39gh,即：

gh≤eq\f(1182,4*58*39)=eq\f(3481,2262),

则gh的最大值为:ghmax=eq\f(3481,2262)。

思路六：数形几何法

如图，设直线58g+39b=118上的任意一点P(g?,h?),op与x轴的夹角为θ，则：

y

p(g?,h?)

o x

58g?+39h?=118,

h?=g?tanθ,

58g?+39g?tanθ=118，即：

g?=eq\f(118,58+39tanθ),

|g?*h?|=1182*eq\f(|tanθ|,(58+39tanθ)2),

=eq\f(1182,\f(3364,|tanθ|)+2*58*39+1521|tanθ|),

≤eq\f(1182,2*58*39+2*58*39)=eq\f(3481,2262)，则：

gh的最大值=eq\f(3481,2262).

思路七:构造函数法

设函数：f(g,h)=gh-λ*(58g+39h-118),则偏导数：

fg=h-58λ,fh=g-39λ,

fλ=58g+39h-118。

令fg=fh=fλ=0，则：

h=58λ,g=39λ。进一步代入得：

58λ+58λ=118,即λ=eq\f(59,58).

则：g=39*eq\f(59,58),b=58*eq\f(59,58).

ghmax=39*58*(eq\f(59,58))2=eq\f(3481,2262)。