2025年高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第3讲第1课时导数与不等式的证明.pptxVIP

;第三讲导数的综合应用;知识梳理·双基自测;知识梳理·双基自测;知识梳理

知识点一利用导数证明不等式

若证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)g(x)，x∈(a，b)．;知识点二利用导数解决不等式的恒成立问题

“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤f(x)min；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥f(x)min.;知识点三利用导数研究函数零点的方法

方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．

(2)根据函数f(x)的性质作出图象．

(3)判断函数零点的个数．

方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．

(2)分类讨论，判断函数零点的个数．;归纳拓展;双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝x－sinx有无数多个零点．();题组二走进教材

2．(选择性必修2P99T13改编)若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为();[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝0得a＝xlnx，记g(x)＝xlnx.;A．f(a)f(b) B．f(a)＝f(b)

C．f(a)f(b) D．f(a)f(b)1

[答案]C;4．(选择性必修2P99T12改编)求证：(1)ex≥x＋1；

(2)lnx≤x－1(x0)．;题组三走向高考

5．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则()

A．x＝3是f(x)的极小值点

B．当0x1时，f(x)f(x2)

C．当1x2时，－4f(2x－1)0

D．当－1x0时，f(2－x)f(x)

[答案]ACD;[解析]因为函数f(x)的定义域为R，

而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2

＝3(x－1)(x－3)，

令f′(x)＝0得x1＝1，x2＝3，

当x变化时f′(x)和f(x)的变化情况如下表;故x＝3是函数f(x)的极小值点，A正确；

当0x1时，x－x2＝x(1－x)0，

所以1xx20，

而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，

所以f(x)f(x2)，B错误；

当1x2时，12x－13，而由上可知，

函数f(x)在(1,3)上单调递减，

所以f(1)f(2x－1)f(3)，

即－4f(2x－1)0，C正确；

当－1x0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)0，

所以f(2－x)f(x)，D正确．故选ACD.;第一课时导数与不等式的证明;考点突破·互动探究;直接作差构造函数证明不等式;名师点拨：

1．待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式．

2．利用作差构造法证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数g(x)；

(3)利用导数研究g(x)的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．;【变式训练】

(2024·河北保定三模)已知函数f(x)＝x2－ax＋lnx，x＝1为f(x)的极值点．

(1)求a；

(2)证明：f(x)≤2x2－4x.;利用隔离分析最值法证明不等式;名师点拨：

1．若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．含lnx与ex的混合式不能直接构造函数，要将指数与对数分离，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．

2．等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商形式，便于求导后找到极值点．;【变式训练】

(2023·新课标Ⅱ卷节选)证明：当0x1时，x－x2sinxx.

[证明]构建F(x)＝x－sinx，x∈(0,1)，

则F′(x)＝1－cosx0对?x∈(0,1)恒成立，

则F(x)在(0,1)上单调递增，可得F(x)F(0)＝0，

所以xsinx，x∈