2024_2025学年高中数学第二章函数1生活中的变量关系学案北师大版必修1.docVIP

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生活中的变量关系

依靠关系和函数关系

依靠关系

函数关系

在某改变过程中，假如其中一个变量的值发生了改变，另一个变量的值也会随之发生改变

在某改变过程中，假如变量具有依靠关系，对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应

变量与变量之间肯定存在依靠关系吗？

提示：不肯定．因为只有一个变量发生改变，另一个变量随之发生改变时，两个变量才具有依靠关系．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)水稻产量y与施肥量x是依靠关系．()

(2)圆的面积S与半径r是函数关系．()

(3)两个具有依靠关系的变量肯定具有函数关系．()

提示：(1)√.水稻产量随着施肥量的改变而改变，所以它们是依靠关系．

(2)√.对于半径r都有唯一的面积S与之对应，所以圆的面积S与半径r是函数关系．

(3)×.只有满意对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系．

2．下列命题是假命题的是()

A．圆的周长与其直径的比值是常量

B．随意四边形的内角和的度数是常量

C．放射升空的火箭高度与放射的时间之间是函数关系

D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系

【解析】选D.A，B，C都是真命题，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．

3．(教材例题改编)给出下列关系：

①人的年龄与他(她)拥有的财宝之间的关系；

②抛物线上的点的纵坐标与该点的横坐标之间的关系；

③橘子的产量与气候之间的关系；

④某同学在6次考试中的数学成果与他的考号之间的关系．

其中不是函数关系的有________．(填序号)

答案：①③④

类型一变量间关系的推断(逻辑推理)

1．下列各组中两个变量之间是否存在依靠关系？

①圆的面积和它的半径；

②速度不变的状况下，汽车行驶的路程与行驶时间；

③家庭的食品支出与电视价格之间的关系；

④正三角形的面积和它的边长．

2．如图所示为某市一天24小时内的气温改变图．

(1)上午8时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？

(2)大约在什么时刻，气温为0℃？

(3)大约在什么时刻，气温在0℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？

【解析】1.①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；②中，在速度不变的状况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；③中，两个变量不存在依靠关系．④中，正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝eq\f(\r(3),4)a2的关系．综上①②④中两个变量间都存在依靠关系．

2．(1)上午8时气温约是0℃，全天最高气温大约是9℃，全天最低气温大约是－2℃.

(2)大约在0时、8时和22时，气温为0℃.

(3)在8时到22时之间，气温在0℃以上，变量0≤t≤24，变量－2≤T≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的改变趋势．T与t具有依靠关系，也具有函数关系．

依靠关系与函数关系的推断方法与步骤

【补偿训练】

下列过程中，各变量之间是否存在依靠关系？其中哪些是函数关系？

(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，视察温度计示数的改变，冷却时间与温度计示数的关系．

(2)商品的销售额与广告费之间的关系．

(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系．

(4)高速马路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．

【解析】(1)冷却时间与温度计示数具有依靠关系，依据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量．反之不行．

(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依靠关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系．

(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依靠关系，更不具有函数关系．

(4)高速马路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依靠关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量．反之也是．

综上可知，(1)(4)中的变量间具有依靠关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依靠关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依靠关系，也不具有函数关系．

类型二变量关系的表示(直观想象)

【典例】李明某天9时骑自行车离开家，15时回到家，他离家的距离与时间的改变状况如图所示．

(1)图像表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)10时和13时，他分别离家多远？

(3)他在什么时间内离家最远？离家多远？

(4)李明离家的距离是时间的函数吗？反过来，时间是离家的距离的函数吗？

【思路导引】

明确纵轴与横轴的意义，