2024_2025学年新教材高中数学第四章对数运算与对数函数3.3第2课时对数函数图象及性质的应用习题课学案北师大版必修第一册.docVIP

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第2课时对数函数图象及性质的应用(习题课)

对数型函数的最值与值域

[例1]求下列函数的值域：

(1)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(－x2＋2x＋1)；

(2)f(x)＝log2eq\f(x,4)·log2eq\f(x,2)(1≤x≤4)．

[解](1)设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.

∵y＝logeq\s\do9(\f(1,2))t为减函数，且0t≤2，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞)．

(2)∵f(x)＝log2eq\f(x,4)·log2eq\f(x,2)＝(log2x－2)·(log2x－1)

＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，

又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，

∴当log2x＝eq\f(3,2)，

即x＝2eq\s\up6(\f(3,2))＝2eq\r(2)时，f(x)取最小值－eq\f(1,4)；

当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值为2，

∴函数f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).

eq\a\vs4\al()

求函数值域的方法

(1)求对数型函数的值域，一般须要依据对数函数的单调性及真数的取值范围求解；

(2)求函数的值域时，肯定要留意定义域对它的影响，并结合函数的单调性求解，当函数较为困难时，可对对数函数进行换元，把困难问题简洁化．

[跟踪训练]

1．已知函数f(x)＝3logeq\s\do9(\f(1,3))x的定义域为[3，9]，则函数f(x)的值域是________．

解析：∵y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x在(0，＋∞)上是减函数，

∴当3≤x≤9时，logeq\s\do9(\f(1,3))9≤logeq\s\do9(\f(1,3))x≤logeq\s\do9(\f(1,3))3，

即－2≤logeq\s\do9(\f(1,3))x≤－1，

∴－6≤3logeq\s\do9(\f(1,3))x≤－3，

∴函数f(x)的值域是[－6，－3]．

答案：[－6，－3]

2．函数y＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋1)在区间[0，1]上的最大值为________，最小值为________．

解析：因为y＝2x在[0，1]上单调递增，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋1)在[0，1]上单调递减，所以y＝f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋1)在[0，1]上单调递增，所以y的最大值为f(1)＝21－logeq\s\do9(\f(1,2))2＝2－(－1)＝3，最小值为f(0)＝20－logeq\s\do9(\f(1,2))1＝1－0＝1.

答案：31

对数型函数的单调性问题

[例2](链接教科书第124页C组2题)(1)已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(2)0，则此函数的单调递增区间是()

A．(－∞，－3) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)

(2)已知函数f(x)＝lg(x2－2ax－a)在区间(－∞，－3)上是减函数，求实数a的取值范围．

（1）[解析]∵f(2)＝loga50＝loga1，∴a1.

由x2＋2x－30得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．

设u＝x2＋2x－3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．

又∵y＝logau(a1)在(0，＋∞)上也为增函数，

∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D.

[答案]D

[解]设u(x)＝x2－2ax－a.

∵f(x)在(－∞，－3)上是减函数，

∴u(x)在(－∞，－3)上是减函数，

且u(x)0在(－∞，－3)上恒成立．

又u(x)＝(x－a)2－a－a2在(－∞，a)上是减函数．

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(u（－3）≥0，,a≥－3，))∴a≥－eq\f(9,5).

∴满意条件的实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，＋∞)).

[母题探究]

1．(变条件)本例(1)中条件变为“f(x)＝lg(x2－2x)”，其他条件不变，试求函数f(x)的单调递增区间．

解：由已知，得x2－2x0，解得x2或x0.因为u＝x2－2x在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，而y＝lgu在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝lg(x2