2024年新教材高中数学第八章立体几何初步4.1平面学案新人教A版必修第二册.docVIP

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平面

同学们在生活中都有这样的常识，停自行车时，要打开脚撑．

【问题1】为什么打开脚撑后自行车就能停稳？

【问题2】还有什么确定平面的方法？

【问题3】怎样用符号语言描述空间中点、直线、平面的位置关系？

1．平面

(1)定义：几何里所说的“平面”，是从生活中的课桌面、黑板面、安静的水面等抽象出来的．

(2)本质：由点构成，平的，向四周无限延展．

2．平面的画法

(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.

(2)假如一个平面被另一个平面遮拦住，为了增加它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.

3．平面的表示法

如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.

本质：

1．平面是由镜面、安静的水面等实物抽象出来的数学概念．平面与生活中平的面这些实物有根本的区分，既具有无限延展性，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性是相通的．

2．平面没有凹凸曲折，是数学上最简洁的面，即在相交的两条直线上各取一动点，作出过这两点的直线，全部这些直线构成的面．

4．点、线、面之间的关系

(1)直线在平面内的概念：

假如直线l上的全部点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.

(2)符号表示：

点P在直线l上

P∈l

点P在平面α外

P?α

点P在直线l外

P?l

直线l在平面α内

l?α

点P在平面α内

P∈α

直线l在平面α外

l?α

(3)本质：点与直线、点与平面是元素与集合的关系；直线与平面是集合与集合的关系．

5．平面的基本领实及推论

(1)基本领实：

基本领实

内容

图形

符号

基本领实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α

基本领实2

假如一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α

基本领实3

假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

(2)推论

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图①).

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②).

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③).

(3)本质：基本领实是人们通过长期视察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，进一步探讨立体几何的基础．

(4)应用：

基本领实1：确定平面；

基本领实2：确定直线在平面内；

基本领实3：确定点共线．

本质：三个基本领实又称三个公理，三个公理及其推论是探讨空间图形性质的理论基础，是立体几何推理论证的理论依据．

经过空间中三个点可以作出几个平面？

提示：当三个点共线时可以作出多数个平面；当三个点不共线时只能作唯一的一个．

1．安静的、一望无际的湖面是平面吗？

2．一条直线和一个点能确定一个平面吗？

3．平面α与平面β相交于直线l，若点P是平面α和平面β公共点，则点P与直线l的位置关系是什么？

提示：1.不是；2.不肯定；3.点P在直线l上．

视察教材图8.4－10，怎样用符合语音描述四条腿的底端在一个平面上？

提示：设凳子腿的底端分别为A，B，C，D，因为AB与BD相交于一点，所以直线AB，BD确定一个平面，

设为α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，即点A，B，C，D四点共面．

1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()

【解析】选D.画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．

2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作()

A．Q∈b∈β B．Q∈b?β

C．Q?b?β D．Q?b∈β

【解析】选B.因为点Q(元素)在直线b(集合)上，

所以Q∈b.又因为直线b(集合)在平面β(集合)内，

所以b?β，所以Q∈b?β.

基础类型一空间中点、直线、平面(直观想象)

1．三个平面α，β，γ两两均相交，则这三个平面的交线总共可能有()条．

A．1B．2C．3D．1或3

【解析】选D.当三个平面交于一条直线时，交线的条数是1，当三个平面两两相交，交线不重合时，有3条交线，综上：可知空间中三个平面两两相交交线的条数是1或3.

2．给出下列四个说法，其中正确的是()

A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内

B．三条平行直线共面

C．两平面有一个公共点，则肯定有多数个公共点

D．空间三点确定一个平面

【解析】选C.对于A，线段AB在平面α内，则直线AB肯定在平面α内，故A错误；

对于B，三条平行直线不肯定共面，比如正方体AC1中，三条平行线