2024_2025学年新教材高中数学第六章统计学初步4.4百分位数学案湘教版必修第一册.docVIP

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百分位数

新课程标准解读

核心素养

结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义

数据运算、数据分析

在一次长跑测试中，小明是班上跑得最快的，小彬是班上跑得最慢的，全班共40人．

[问题]小明、小彬长跑成果的百分位数各是多少？

学问点百分位数

1．百分位数是位于按肯定依次排列的一组数据中某一个百分位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]上的整数．一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r%的观测值小于或等于它，且至少有(100－r)%的观测值大于或等于它，当r%＝50%时，Pr即对应中位数．

2．求一组观测数据的百分位数的步骤

设观测数据已经按从小到大的依次排列．如x1，x2，…，xn.

第一步，计算c＝n×r%；

其次步，假如c不是整数，用m表示比c大的最小整数．则所求的Pr＝m，假如c是整数，则Pr＝eq\f(xc＋xc＋1,2).

eq\a\vs4\al()

总体百分位数估计须要留意的两个问题

(1)总体百分位估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算精确是关键；

(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值．

1．某班级人数为50，班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？

提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．

2．“这次数学测试成果的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？

提示：有70%的同学数学测试成果小于或等于85分．

1．下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是()

A．第50百分位数就是中位数

B．总体数据中的随意一个数小于它的可能性肯定是50%

C．它肯定是这组数据中的一个数据

D．它适用于总体是离散型的数据

解析：选A由百分位数的意义可知选项B、C、D错误．

2．观测一组数据5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的P25为________；P75为________；P90为________．

解析：由于共有10个数字，则10×25%＝2.5，10×75%＝7.5，10×90%＝9.故P25＝7，P75＝12，P90＝eq\f(13＋14,2)＝13.5.

答案：71213.5

百分位数的计算

[例1](链接教科书第245页例9)从某珍宝公司生产的产品中，随意抽取12颗珍宝，得到它们的质量(单位：g)如下：

7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，

8．5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.

(1)分别求出这组数据的P25，P75，P95；

(2)请你找出珍宝质量较小的前15%的珍宝质量；

(3)若用P25，P75，P95把公司生产的珍宝划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍宝等级的划分标准．

[解](1)将全部数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，

因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，

则P25＝eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，

P75＝eq\f(8.6＋8.9,2)＝8.75，

P95＝9.9.

(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，即P15＝7.9.

即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8g，7.9g.

(3)由(1)可知珍宝质量的P25＝8.15g，P75＝8.75g，P95＝9.9g，所以质量小于或等于8.15g的珍宝为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.75g的珍宝为合格品，质量大于8.75g且小于或等于9.9g的珍宝为优等品，质量大于9.9g的珍宝为特优品．

eq\a\vs4\al()

计算百分位数时，可先将这组数据按从小到大的依次排列，再依据定义计算．

[跟踪训练]

某校年级组长为了解本校高三学生一模考试的数学成果(单位：分)，随机抽取30名学生的一模数学成果，如下所示：

11014412563891211451237496

9714211568