《金融工程》 课件 第十二章 期权的二叉树模型.pptx

第十二讲期权的二叉树模型1《金融工程》

主要内容2第一节二叉树模型简介第二节单步二叉树模型第三节多步二叉树模型第四节二叉树模型的实际应用

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4第一节二叉树模型简介

引言51979年，J.C.Cox,S.A.RossM.Rubin–stein将二叉树模型用于期权定价中，迄今为止，这种模型已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。AB1E0E1E3E2B0C0D0C1D1C2D2D3E4

一、二叉树模型的基本假设6市场无摩檫（无交易费用和税收)市场是无套利的无风险利率为常数，可以无限制以无风险利率借贷允许卖空下一期的股票价格只取两种可能的值。

二、二叉树模型的特点7模型相对简单容易理解风险中性定价与无套利定价的关系容易解释期权动态套期保值的思想一种期权定价的数值方法对欧式期权的定价与Black-Scholes公式的定价近似；为美式期权定价提供了便利；除了为期权定价还可以做别的；

8第二节单步二叉树模型

单期二叉树9例12.1假设一种不支付红利股票目前的市价为20元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是22元，要么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连续复利），现在我们要找出一份3个月期协议价格为21元的该股票欧式看涨期权的价值。

10（一）构造无风险组合定价期权建立一个包含衍生品头寸和基础资产头寸的无风险的资产组合。若数量适当，基础资产的赢利就会与衍生品的亏损相抵，瞬间无风险。无风险组合的收益率等于无风险利率。一.单期二叉树的无套利定价

分析11构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足下式：22D–118D22Δ－1=18ΔΔ=0.25

分析12该无风险组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为20元，因此：

13二.单期二叉树的风险中性定价风险中性定价思想在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P，则得：P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该期权的价值：

14在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P，则得：P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该期权的价值：风险中性定价思想

三、推广到一般情形15假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd（dexp(rT)u）。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。一般的例子

（一）无套利定价法的思路16首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：SuD–?uSdD–?d由此计算出该组合为无风险时的Δ值。

17如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT，所以其中：（一）无套利定价法的思路

启示18（1）计算公式中没有出现股票实际上涨或下跌的概率；(2)公式中没有描述投资者对于风险偏好程度的变量，说明可以被任何态度的投资者接受(3)期权价值仅与当前股价、未来股价波动性有关；（4）P，1-p在无套利市场中满足概率的性质，称为风险中性概率（risknerutralProbability）。(5)风险中性概率只依赖于股票价格的波动性和无风险收益

（二）风险中性定价的思路19假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：所以fufdfSuSdSP1-P

20（三）风险中性与套利定价内在统一的数学原理资产定价的基本定理：无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某一等价概率测度，使得每一种金融资产对该等价概率测度的期望收益都等于无风险证券的收益率表明了无套利定价与风险中性定价的关系

单期二叉树——练习21练习：求欧式看跌期权的价值，X=21T=3个月，r=0.1$18$22$20

四、欧美式期权的单步二叉树定价22美式期权的单期定价针对美式期权，需要考虑提前执行的价值与不提前执行的价值哪一个是最优的，因此即使在单步的二叉树下美式与欧式的估值也是不同的美式看跌期权X=22的价值为：2欧式看跌期权X=22的价值为：1.46$18$22$20

23总结：欧式期权的单期定价：美式期