(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题14 复数(讲义)（原卷版）.doc

专题14复数(讲义)

1.复数的有关概念

内容

意义

备注

复数的

概念

形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b

若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数

复数

相等

a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d

实部与实部、虚部与虚部对应相等

共轭

复数

a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)

实数的共轭复数是它本身

复平面

建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数

复数

的模

设eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模

|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)

2．复数的几何意义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点eq\o(□,\s\up1(01))Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).

3．复数代数形式的四则运算

(1)运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

运算名称

符号表示

语言叙述

加减法

z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i

把实部、虚部分别相加减

乘法

z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i

按照多项式乘法进行，并把i2换成－1

除法

eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)

把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(3)复数乘法的运算定律

复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

(4)复数加、减法的几何意义

①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1＋z2是eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))所对应的复数．

②复数减法的几何意义：复数z1－z2是eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))即eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数．

4.模的运算性质：①|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2＝z·eq\o(z,\s\up6(－))；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|).

5.实系数的一元二次方程：

设一元二次方程为（、、且）。

因为，所以原方程可以变形为。

配方得，，即

。

（1）若，即，此时方程有两个不相等的实数根

；

（2）若，即，此时方程有两个相等的实数根；

（3）若，即，方程没有实数根。

因为的平方根是，此时方程有两个不相等的虚数根

。

因此，实系数一元二次方程在复数集中恒（仅）有两解。

特别地，当时，实系数一元二次方程（、、且）在复数集中有一对互相共轭的虚数根

。

注：虚根成对定理

若虚数是实系数一元（）次方程

（）

的根，那么也是这个方程的根。

6.复数的三角表示式

记向量的模，由上图可以得到（由三角函数定义得），

所以

其中，，.

这样，我们就用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角表示了复数.

（1）.复数的三角形式

一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

注：代数形式是唯一的.三角形式不唯一.例如.

（2）.辐角与辐角主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.

复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.

我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.

通常记作，即.

（3）.复数代数形式和三角形式的