2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛浙江赛区初赛试题.docxVIP

2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题

本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分。

一、填空题（每小题8分，共计96分）

1.已知集合S={x∈Rx2+2x+a=0}，若一1∈S，则实数a=_______________。答案：1.

解将一1代入方程x2+2x+a=0，得a=1

2.函数在上的最小值为___________________。

答案：.

解令t=sinx+cosx,则1≤t≤,则

3.已知四面体S一ABC，点A1为三角形SBC的重心，G在线段AA1上，，连接SG交三角形ABC所在的平面于

答案：.

解由于S、A、G、M、A1共面，知M为三角形ABC的重心，由此得 4.已知关于x的方程一3x2+x2+2x一一3x2存在四个不同的实根，则实数a的取值范围为____________。

答案：(4,8)

解将原方程变形程为一3x2+x2+2x一一3x2=2x+a

考虑函数与的交点个数

可知于y=x+4与y=x+2时达到极值，所以即4a8

5.设函数f(z)(z为复数）满足f(f(z))=(zz-z-z)2。若f(1)=0,则fi()-1=___答案：1.

解f(f(i))=1,于是f(f(f(i)))=f(1)=0,另一方面所以

f(i)f(i)-f(i)-f(i)=0,即=1,即f()i-1=1

6.已知m,n,k为正整数，若存在正整数对(a,b)满足

(1+a)n2-4(m+a)n+4m2+4a+b(k-1)23，则m+n+k可能值的个数为____________。

答案：4

解配方得(2m-n)2+a(n-2)2+b(k-1)23,得到以下情况：

2m-n=0,n-2=0,k-1=0→(m,n,k)=(1,2,1)2m-n=±1,n-2=0,k-1=0,无整数解

2m-n=0,n-2=±1,k-1=0,无整数解

2m-n=0,n-2=0,k-1=±1→(m,n,k)=(1,2,2)2m-n=±1,n-2=0,k-1=±1,无整数解

2m-n=0,n-2=±1,k-1=±1,无整数解

2m-n=±1,n-2=±1,k-1=0→(m,n,k)=(2,3,1),(1,3,1),(1,1,1)

综上，m+n+k的可能值为3,4,5,6

7.已知a,b,c∈C，且a+b+c=a2+b2+c2=3,a3+b3+c3=6,则

(a一1)2023+(b一1)2023+(c一1)2023= 。

答案：0

解由已知可以得到(a一1)3=1，(b一1)3=1，(c一1)3=1，结合已知条件可得(a一1)2023+(b一1)2023+(c一1)2023=0

8.已知数列满足则

答案

解由已知得一所以

9.设a-,为两个垂直的平面向量，且a-=2=10。当0≤t≤1时，记向量

ta-+(1一t)与向量最大夹角为θ,则cosθ=________________。

答案：

解设a-=(0,10),=(5,0)，则

–––→–––→––→另解设，则就是O––P–（O为原点，P为线段AB上一点就是

–––→–––→––→

C为顶点的圆与AB相切。CP(C点坐标（2,0）),OP,CP的夹角最大，即以

C为顶点的圆与AB相切。

由此求得

10.设a1,a2,a3,a4,a5是数字1,2,3,4,5的排列。若不存在1≤ijk≤5成立aiajak,，则所有这样的排列数有________________种。

答案：42.

解