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一、光速解题——学会12种快速解题技法

方法1特例法

在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐的演算过程,提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.

典例1(特殊数值)(1)设f(x)=log2[4(

A.(∞,0)∪(2,+∞) B.(0,2)

C.(∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)

(2)在数列{an}中,a1=2,an=an1+ln1+1n-

A.2+lnn B.2+(n1)lnn

C.2+nlnn D.1+n+lnn

答案(1)C(2)A

解析(1)取x0=1,则f(1)=12+1=323,故x0≠1,排除B、D;取x0=3,则f(3)=log28=3,故x0

(2)由an=an1+ln1+1n-1=an1ln(n1)+lnn(n≥2),可知anlnn=an1ln(n1)(n≥2).令bn=anlnn,则数列{bn}是以b1=a1ln1=2为首项,d=bnbn1=0为公差的等差数列,则bn=2,故2=a

典例2(特殊点)(1)函数f(x)=|1

(2)如图,点P为椭圆x225+y29=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平分线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S

A.1 B.2 C.12 D.

答案(1)C(2)A

解析(1)因为x≠±1,所以排除A;因为f(0)=1,所以函数f(x)的图象过点(0,1),排除D;因为f12=1-12

(2)不妨取点P4,95,则可计算S1=3-95×(54)=65,由题易得PD=2,PE=65,所以S2=12

典例3(特殊函数)若函数y=f(x)对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:

①“影子函数”f(x)的值域可以是R;

②“影子函数”f(x)可以是奇函数;

③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y=f(x)·g(x)是“影子函数”.

上述命题正确的序号是()

A.① B.② C.③ D.②③

答案B

解析对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)f(x2)=1,所以①错;

对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x1∈(∞,0)∪(0,+∞),取x2=1x1,则f(x1)f(x

对于③:函数f(x)=x(x0),g(x)=1x(x0)都是“影子函数”,但F(x)=f(x)g(x)=1(x0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0,+∞),存在无数多个x2∈(0,+∞),使得F(x1)·F(x2

典例4(特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令AB=a,AC=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且AP=ma,AQ=nb,则1m+1

A.3 B.4 C.5 D.

(2)如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q满足A1

A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D.3∶1

答案(1)A(2)B

解析(1)由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.

解法一:如图(1),令PQ∥BC,

则AP=23AB,AQ=23

故1m+1

解法二:如图(2),直线BE与直线PQ重合,此时,AP=AB,AQ=12AC,故m=1,n=12,所以1

(2)将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有VC-AA1

因此过P、Q、C三点的截面把棱柱分成体积比为2∶1的两部分.

典例5(特殊图形)AD,BE分别是△ABC的中线,若|AD|=|BE|=1,且AD与BE的夹角为120°,则AB·AC=.?

答案23

解析若△ABC为等边三角形,则|AB|=233

∴AB·AC=|AB||AC|cos60°=23

方法2数形结合法

数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,以数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数的精确性阐明形的某些属性,即以数作为手段,以形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几