精品解析：北京市第九中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（原卷版）.docxVIP

2025北京九中高一（下）开学考

数学

（考试时间90分钟满分100分）

一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1.已知集合，则的子集个数为（）

A.4 B.8 C.16 D.18

2.命题“，”的否定是（）

A.， B.，

C.， D.，

3.下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（）

A. B. C. D.

4.一个大箱子内放有5本科学杂志和7本文学杂志，小张先从箱内随机抽取1本（不放回），小李再从箱内随机抽取1本，已知小张抽取的是文学杂志，则小李抽取的是科学杂志的概率为（）

A. B. C. D.

5.设，，，则、、的大小关系是（）

A. B. C. D.

6.某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（）

A.90 B.120 C.140 D.150

7.函数的图象大致是（）

A. B.

C. D.

8.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）

A.300年 B.255年 C.175年 D.125年

9.已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（）

A. B. C. D.

10.若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（）

A. B. C. D.

二.填空题（每小题4分，共计20分）

11.若幂函数的图象经过，则此幂函数的表达式为___________.

12设函数，则__________．

13.已知函数为偶函数，且当时，，则时，____.

14.已知，则最小值为____，此时_________

15.已知函数，给出下列四个结论：

①在定义域上单调递增；

②存在最大值；

③不等式的解集是；

④图象关于点对称．

其中所有正确结论的序号是________________.

三.解答题

16.已知关于x的不等式的解集为．

（1）求实数m的值；

（2）正实数a，b满足，求最小值．

17.已知函数.

（1）根据定义证明函数在区间上单调递增

（2）求函数在区间上的最大值和最小值

18.某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．

19.已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求和的值；

（2）判断在上的单调性，并用定义证明；

（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.