精品解析：北京市第三十五中学2025届高三下学期3月测试数学试卷（原卷版）.docxVIP

北京35中2025届测试试卷

数学

2025.3

本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

2.（）

A.1 B.2 C. D.5

3.在的展开式中，常数项是（）

A. B. C. D.

4.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

5.已知圆点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（）

A.的最小值为2 B.最小时，弦AB所在直线的斜率为

C.最小时，弦AB长为 D.四边形面积的最小值为

6.定义在D上的函数，若满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（）

A.

B.

C.

D.（表示不大于x最大整数）

7.已知函数的图象的一部分如图①，则图②中的函数图象对应的函数是（）

A. B.

C. D.

8.已知是平面上点，是平面上的点，且，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（）

A小时 B.小时 C.5小时 D.小时

10.如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（）

A. B. C. D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11.抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_______．

12.已知双曲线一条渐近线的斜率为2，则______

13.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω0)满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值.则_____；若，则的值可以为______.

14.生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为______；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月______日．

15.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”.

给出下列4个结论：

①函数可以是某个圆的“太极函数”

②正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”

③存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数”

④函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形

其中所有正确的结论的序号为______

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.在△中，，.

（1）求证：△为等腰三角形；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值.

条件①：；

条件②：△的面积为；

条件③：边上的高为.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，

（1）求证：平面；

（2）M为线段CD的中点，求二面角的余弦值.

18.为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．

（1）若，求乙队以2：0获胜的概率；

（2）若，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望；

（3）若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最