（人教2019版）数学选修2 第4章 《数列》大单元教学设计.docx

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4.1数列的概念（单元教学设计）

一、【单元目标】

（1）使学生理解数列以及数列的通项公式的概念．

（2）会根据数列的通项公式求数列的各项．

（3）能根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式．

二、【单元知识结构框架】

三、【学情分析】

学生已具备一定数学基础，但对数列概念的理解可能尚浅．他们可能了解数列是按一定顺序排列的数字，但对数列的严格定义、通项公式及其重要性认识不足．部分学生可能在从具体数列中抽象出通项公式时遇到困难，缺乏将实际问题转化为数列问题的思维训练．因此，教学中需注重引导，通过实例让学生深刻理解数列概念，明确数列与函数的关系，掌握通项公式的求解方法．同时，要加强练习，提高学生运用数列知识解决实际问题的能力，培养他们的逻辑思维和抽象概括能力，为后续学习打下坚实基础．

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约2课时

教学重点：数列的概念和根据数列的前几项，确定数列的通项公式．

教学难点：根据数列的前几项的特点，确定数列的一个通项公式．

教学方法/过程：

五、【教学问题诊断分析】

环节一、情景引入，温故知新

情景：有人观察到，大自然似乎深谙数学之道，你是否也曾留意？树木的枝桠如何分布、花瓣数目有何规律、植物种子如何巧妙排列，这些背后都隐藏着数学的奥秘．你能猜想到这与哪些数学原理息息相关吗？在接下来的课程中，我们将一同揭开这些自然之谜，深入理解它们所蕴含的数学规律．

环节二、抽象概念，内涵辨析

【变式0-1】数列的概念与分类

问题1：观察以下几列数：

（1）古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2401，16807；

（2）战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：；

（3）从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2023，2023，…，2023；

（4）小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…；

（5）的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：；

你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？

【破解方法】它们的共同特征是都遵循着一种明确的顺序来排列．然而，它们之间也存在显著的差异：从项数的角度观察，（1）和（3）的项数是有限的，意味着它们有一个明确的起点和终点；而（2）、（4）和（5）的项数则是无限的，它们会不断地延续下去．从项的变化趋势来看，（1）中的每一项都在逐渐增大，呈现出一种递增的态势；（2）中的每一项则在逐渐减小，展现出递减的特点；（3）中的项则保持不变，没有发生任何变化；（4）中的项呈现出周期性的变化，即它们会按照一定的规律重复出现；（5）中的项则是交替变化的，即它们的大小会按照一定的顺序轮换出现．

【归纳新知】

数列概念：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列．

知识点诠释：

（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．

数列的项：

数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项．

知识点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号．

类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：

（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；

（2）可重复性：数列中的数可以重复；

（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的．

数列的一般形式：

数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项．

知识点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项．

数列的分类

根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列

根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．

常数数列：各项相等的数列．

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

【变式0-2】数列的通项公式

问题2：我们发现问题1中的（1）（2）（3）（5），项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？

【破解方法】数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示．

【归纳新知】

数列的通项公式

如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．

知识点诠释：

（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；

（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的．

如数列：1，0，1，0，