2024_2025学年高中数学第二章平面向量2.1向量加法运算及其几何意义课时练习含解析新人教A必修4.docVIP

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向量加法运算及其几何意义

(15分钟30分)

1.下列等式不成立的是 ()

A.a+0=a B.a+b=b+a

C.+=2 D.+=

【解析】选C.对A,明显成立;对B,满意交换律,成立;对D,满意向量加法的三角形法则,成立;对C,+=0,故C不成立.

2.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是 ()

A.=,=

B.+=

C.+=+

D.++=

【解析】选C.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,=,A选项错误;B选项明显错误;++=,D选项错误;+=,+=,故C选项正确.

3.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+= ()

A. B. C. D.

【解析】选C.设a=+,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量a=+,则a与长度相等,方向相同,所以a=.

4.在矩形ABCD中,AB=,BC=1,则向量++的长等于 ()

A.2 B.2 C.3 D.4

【解析】选D.矩形ABCD中,AB=,BC=1,所以AC=2,因为++=++

=+=2,故其长度为4.

5.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点且+=0.

求证:+=+.

【证明】因为=+,=+,所以+=+++.又因为+=0,所以+=+.

(30分钟40分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|的值为 ()

A.0 B.3 C. D.2

【解析】选D.因为a+b=c,且|c|=,

所以|a+b+c|=|2c|=2.

2.(2024·宝山高一检测)下列命题中正确的个数为 ()

①假如非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a或b的方向相同;

②△ABC中,必有++=0;

③若++=0,则A,B,C肯定为一个三角形的三个顶点;

④若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b|.

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.①错,若a+b=0,则a+b的方向是随意的;②正确;③错,当A,B,C三点共线时,也满意++=0;④错,|a+b|≤|a|+|b|.

3.(2024·兖州高一检测)若P为△ABC的外心,且+=,则∠ACB= ()

A.105° B.120° C.135° D.150°

【解析】选B.因为+=,

则四边形APBC是平行四边形.又P为△ABC的外心,所以||=||=||.

因此∠ACB=120°.

4.若||=8,||=5,则||的取值范围是 ()

A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)

【解析】选C.当A,B,C不共线时,,,为三角形三边,由三边关系可得8-58+5,所以313;当A,B,C共线且与同向时,=8-5=3,与反向时,=8+5=13.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,且E,F,G,H分别是所在边的中点,点O是对角线的交点,则下列各式中正确的为.?

①+=

②+=+

③+=+

④+=

【解析】①由向量加法的平行四边形法则,知+=.又=,所以+=,①正确.

②因为=,所以+=+=.因为=,所以+=+=.

而≠,所以+≠+,②不正确.

=,=,所以+=+,故③正确,=,又+=+=≠,故④不正确.

答案:①③

6.小船以10km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为10km/h,则小船实际航行速度的大小为km/h.?

【解析】如图,设船在静水中的速度大小为|v1|=10km/h,河水的流速大小为|v2|=10km/h,小船实际航行速度为v0,则由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得(10)2+102=|v0|2,所以|v0|=20km/h,即小船实际航行速度的大小为20km/h.

答案:20

三、解答题

7.(10分)如图,已知向量a,b,c,d.

(1)求作a+b+c+d.

(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.

【解析】(1)在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.

(2)在平面内任取一点O,作=a,=e,

则a+e=+=,因为e为单位向量,所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),

由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,所以||即|a+e|最大,最大值是3.