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专题04函数与导数的综合应用

【考情分析】

考查特点:高考对这部分内容的考查主要有：利用导数研究函数的零点，证明不等式，解决恒（能）成立问题。大多与指数型函数，对数型函数，三角函数相结合，以压轴题的形式呈现.

2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力,创新能力.

3.学科素养:逻辑推理、数学运算、数学建模.

【题型一】利用导数研究函数的零点

【典例分析】

【例1】（2021·夏津第一中学高三月考）已知函数的定义域为．

（1）求的单调区间；

（2）讨论函数在上的零点个数

【解析】（1），

因为，所以的零点为0和1.

令，得；令，得或.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（2）由（1）知，在上的极大值为，极小值为，

因为，，所以.，由，得.

当或时，的零点个数为0；

当或时，的零点个数为1；

当或时，的零点个数为2；

当时，的零点个数为3.

【例2】（2021·吉林松原市·高三月考）已知函数.

（1）若，讨论的单调性；

（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围.

【解析】（1）依题可得，

函数的定义域为，

所以.

当时，由，得，则的减区间为；

由，得，则的增区间为.

当时，由，得，则的减区间为；

由，得或，则的增区间为和.

当时，，则的增区间为.

当时，由，得，则的减区间为；

由，得或，则的增区间为和.

（2）.

在上有两个零点，即关于方程在上有两个不相等的实数根.

令，，则.

令，，则，

显然在上恒成立，故在上单调递增.

因为，所以当时，有，即，所以单调递减；

当时，有，即，所以单调递增.

因为，，，

所以的取值范围是.

【提分秘籍】

1.判断函数零点个数的思路

判断函数在某区间[a,b]((a,b))内的零点的个数时,主要思路为:一是由f(a)·f(b)0及零点存在性定理,说明在此区间上至少有一个零点;二是求导,判断函数在区间(a,b)上的单调性,若函数在该区间上单调递增或递减,则说明至多只有一个零点;若函数在区间[a,b]((a,b))上不单调,则要求其最大值或最小值,借用图象法等判断零点个数.

2.利用函数零点情况求参数范围的方法

(1)分离参数(a=g(x))后,将问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离,次选分类)求解.

(2)利用零点存在性定理构建不等式求解.

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.

【变式演练】

1．（2021·山东淄博市·高三二模）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数恰好有三个零点，求的取值范围．

【解析】（1）函数的定义域为，

由，得．

由于，则，即在区间上，函数单调递减；

当时，

＋

0

－

增

减

当时，，即在区间上，函数单调递减．

综上，当时，函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增，在区间上单调递减；

当时，函数在区间上单调递减．

（2）结合第（1）问答案，只有当时函数才可能存在三个零点：

当时，，

，

在区间上恰好存在一个零点；

在区间上存在两个零点，需要保证，即，

且此时，，

在区间上存在一个零点，

同时，，

设，对于函数，，，

故，且，在区间上存在一个零点．

总之，当时，在区间、、上各存在一个零点．

2．（2021·山东省泰安第二中学高三月考）已知函数为奇函数，曲线在点处的切线与直线平行．

（1）求的解析式及单调区间；

（2）讨论的零点个数．

【解析】（1）∵为奇函数，∴，

又．

∴．

，解得：或，

，解得：，

∴在和上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）得：，

的零点即为与图像的交点．

如图示：

当或时，有一个零点，

当或时，有两个零点，

当时，有三个零点，

【题型二】利用导数证明不等式

【典例分析】

【例3】（陕西省2021届高三下学期第三次教学质量检测数学试题）已知函数且.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：.

【解析】（1），，

即,解得或.，解得，∴,∴，

令，得.

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.

（2）要证成立，只需证成立.

令，则，令，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

又由（1）可得在上，所以，

所以，所以原不等式成立.

【例4】（2021·沂水县第一中学高三模拟）已知函数有两个零点，.

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：.

【解析】（1）解：的定义域为，.

①当时，，所以在上单调递增，

故至多有一个零点，不符合题意；

②当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以

（i）若，则，故至多有一个零点，不符合题意；

（ii）若，则，，

由（i）知，∴，

∴，.

又∵，，故存在两个零点，分别在，内.

综上，实数的取值范围为.

（2）证明：