重难点17 几何压轴突破四 几何最值问题 费马点 瓜豆模型（2种模型详解+5种题型汇总+针对训练）（原卷版）.pdf

重难点17几何压轴突破四几何最值问题

费马点与瓜豆模型

（2种模型详解+5种题型汇总+针对训练）

【题型汇总】

类型一费马点

费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.

结论：

1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；

2)对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）

【解题思路】运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，

得出最短长度.

【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

如图所示，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点.

图形结论

等腰三角形①∠APB∠BPC∠APC120°；

②△ABP与△ACP全等；

③△BCP为等腰三角形；

④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P

为费马点时和最小.

等边三角形①APBPCP；

②∠APB∠BPC∠APC120°；

③△ABP、△ACP、△BCP全等；

④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；

⑤点P是△ABC各边的中线的交点；

⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的

交点；

⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P

为费马点时和最小.

直角三角形①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P

为费马点时和最小；

②∠APB∠BPC∠APC120°

【进阶】

加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【模型拓展】

类型一单系数类

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

1）一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120°

23

求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值

23

旋转角度是90°旋转角度是120°

2）另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

类型二多系数类

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。