平面向量数量积及运算律.pptVIP

*平面向量的数量积及其运算律我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。010302040506规定:零向量与任一向量的数量积为0。（1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？（2）“”能不能写成“”或者“”的形式？思考已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=|a||b|cosθ一、向量数量积的定义：思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当θ=90°时a·b为零。当90°＜θ≤180°时a·b为负。探究（二）：平面向量数量积的运算性质思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝0思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.︱a·b︱≤︱a︱︱b︱思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10P书思考4：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？aθbOABA1对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？不一定；︱b︱cosθ.|a|cosθP书106.301a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？02数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，思考5：根据投影的概念，数量积二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a2＋2a·b＋b2.＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例2已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).017202例3已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？03理论迁移*