2024_2025学年新教材高中数学课后落实31实际问题中的函数模型含解析北师大版必修第一册.docVIP

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实际问题中的函数模型

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()

A．eq\f(m,11) B．eq\f(m,12)

C．eq\r(12,m)－1 D．eq\r(11,m)－1

D[设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝eq\r(11,m)，即x＝eq\r(11,m)－1.]

2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，一般自行车0.2元/辆．若该天一般自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()

A．y＝0.2x(0≤x≤4000)

B．y＝0.5x(0≤x≤4000)

C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)

D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)

C[由题意得y＝0.3(4000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1200.]

3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()

A．y＝0.9576eq\s\up7(\f(x,100)) B．y＝0.9576100x

C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9576,100)))x D．y＝1－0.0424eq\s\up7(\f(x,100))

A[设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t%)100,1－t%＝

0.9576eq\s\up7(\f(1,100))，∴y＝(1－t%)x＝0.9576eq\s\up7(\f(x,100)).]

4．某厂有很多形态为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()

A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15

C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14

A[由三角形相像得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，

∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180(8≤y24)．

∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]

5．依据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，xA，,\f(c,\r(A))，x≥A，))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是()

A．75,25 B．75,16

C．60,25 D．60,16

D[由题意知，组装第A件产品所需时间为eq\f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.将c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.]

二、填空题

6．用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.

9[设矩形的一边长为xm，则与这条边垂直的边长为eq\f(12－2x,2)m，

所以矩形面积S＝x·eq\f(12－2x,2)＝－x2＋6x(0x≤6)，当x＝3m时，S最大＝9m2.]

7．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满意关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．

1.75[由题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝0.5a＋b，,1.5＝0.25a＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴y＝－2×0.5x＋2，

∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．]

8．某化工厂准备投入一条新的生产线，但须要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)吨，但假如年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为爱护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．

7[由题意知，第一年产量为a1＝eq\f(1,2)×1×2×3＝3，

以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)－eq\f(1,2)n(n－1)(2n－1)＝3n2(