苏科版数学八上同步讲练专题4.1 平方根与立方根（原卷版）.docVIP

专题4.1平方根与立方根

【教学目标】

1、理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根，掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；

2、理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法，理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；

3、了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根，理解开立方的概念；

4、明确立方根数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；

【教学重难点】

1、平方根的概念及求某些数的平方根的方法；

2、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；

3、立方根的概念及求某些数的立方根的方法；

【知识亮解】

知识点一：平方根、算术平方根

1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．

2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．

一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．

3.算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

亮题一：平方根和算术平方根的定义

【例1】★16的算术平方根的平方根是________.

【例2】★下列说法中正确的有（）．

①只有正数才有平方根．②是4的平方根．③的平方根是．

④的算术平方根是．⑤的平方根是．⑥．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【例3】★已知a是最大的负整数，b的算术平方根是它本身，求a+b是________．

亮题二：平方根的运算

【例1】★求下列各式的值．

(1)；(2)．

【例2】★一个正数的平方根是与，则是多少？

【例3】★★求下列各式中的.

（1）（2）；（3）

亮题三：算术平方根的双重非负性

【例】★已知求的值．

知识点二：立方根

1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．

2.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．

3.求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．

注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数立方根唯一．

类型

项目

平方根

立方根

被开方数

非负数

任意实数

符号表示

性质

一个正数有两个平方根，且互为相反数；

零的平方根为零；

负数没有平方根；

一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零；

重要结论

亮题四：立方根的定义

【例1】★下列结论正确的是（）

A．64的立方根是±4 B．是的立方根

C．立方根等于本身的数只有0和1 D．

【例2】★已知a的平方根是±8，则它的立方根是________；36的算术平方根是________．

【例3】★如果－是的立方根，则下列结论正确的是（）

－＝B．－＝C．＝D．＝

【例4】★下列说法中正确的有（）个.

①负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是

③如果，那么＝－2．④算术平方根等于立方根的数只有1．

A．1B．2C．3D．4

亮题五：立方根的运算

【例1】★求下列各式的值：

（2）（3）

（4）（5）

【例2】★★求下列各式中的值．

（1）；（2）；（3）；（4）．

亮题六：平方根、立方根的综合应用

【例1】★★小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片。

【例2】★已知2是x的立方根，且(y-2z+5)2+=0，求的值。

【例3】★在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，

并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了

．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？

【亮点训练】

1．已知与是一个正数的平方根，则这个正数是（