离散数学教学课件.pptVIP

*************************************第五章：代数结构代数系统集合及定义在其上的运算群论研究满足特定运算性质的集合环与域具有两种运算的代数结构格与布尔代数偏序集的特殊结构与逻辑运算4代数结构是研究集合及定义在其上的运算性质的数学分支。它抽象出各种数学系统（如整数、实数、多项式、矩阵等）的共同代数性质，建立了一套统一的理论框架。代数结构按照复杂性可以分为半群、群、环、域等不同层次。在计算机科学中，代数结构广泛应用于密码学、编码理论、自动机理论等领域。例如，RSA加密算法基于整数模n乘法群的性质；有限域是构造纠错码的基础；布尔代数是数字电路设计的理论基础。本章将介绍几种基本的代数结构及其在计算机科学中的应用。代数系统的基本概念代数系统代数系统是由一个非空集合A和定义在A上的若干个运算组成的数学结构，记作?A,○?,○?,...,○??。其中每个运算○?将A中的若干元素映射到A中的一个元素。n元运算形式：○:A^n→A。常见的运算有：二元运算（如加法、乘法）、一元运算（如取反、求倒数）等。运算的性质交换律：a○b=b○a结合律：(a○b)○c=a○(b○c)分配律：○?对○?满足分配律，如a○?(b○?c)=(a○?b)○?(a○?c)单位元：存在e使得a○e=e○a=a零元：存在θ使得a○θ=θ○a=θ逆元：对每个a存在a使得a○a=a○a=e代数系统是研究抽象代数结构的基础。通过定义不同的运算及其性质，可以构造出各种各样的代数结构，如群、环、域等。这些抽象结构不仅统一了数学中的各种系统，也为计算机科学提供了强大的理论工具。例如，在抽象数据类型中，我们关心的是对数据的操作及其性质，而不是数据的具体表示；在程序语言设计中，类型系统和运算符重载的理论基础也来自代数系统的概念。理解代数系统的基本概念，有助于深入理解计算机科学中的许多理论和应用。半群和独异点半群定义：代数系统?S,○?，其中○是满足结合律的二元运算性质：(a○b)○c=a○(b○c)对所有a,b,c∈S成立例子：?N,+?是半群；?字符串集,连接?是半群独异点定义：具有单位元的半群，即代数系统?M,○,e?单位元性质：a○e=e○a=a对所有a∈M成立例子：?N,×,1?是独异点；?2^X,∪,??是独异点同态与同构同态：保持运算的映射，f(a○b)=f(a)□f(b)同构：双射同态，表示两个结构本质相同例子：f(x)=2x是?N,+?到?偶数集,+?的同态半群和独异点是最基本的代数结构，它们抽象出了许多系统的共同性质。在计算机科学中，这些概念有着广泛应用。例如，字符串连接操作形成半群，这是形式语言和编译器设计的基础；状态转换系统可以形成转换独异点，这在自动机理论中非常重要。理解这些基本结构有助于设计和分析算法，尤其是在并行计算、分布式系统等领域。例如，MapReduce编程模型中的reduce操作要求满足结合律，这实际上是在利用半群的性质设计高效的并行算法。群的定义和性质群的定义群是一个代数系统?G,○?，满足：封闭性：对所有a,b∈G，a○b∈G结合律：对所有a,b,c∈G，(a○b)○c=a○(b○c)单位元：存在e∈G，使对所有a∈G，a○e=e○a=a逆元：对每个a∈G，存在a∈G，使a○a=a○a=e若还满足交换律（a○b=b○a），则称为交换群或阿贝尔群。群的性质与例子性质：单位元唯一每个元素的逆元唯一消去律：若a○b=a○c，则b=c例子：?Z,+?：整数加法群?Z_n,+_n?：模n加法群?Z_n*,×_n?：模n乘法群（仅包含与n互质的元素）?GL(n,R),·?：n阶可逆矩阵群群是代数结构中最重要的概念之一，它不仅在数学中有深远的理论意义，在现代密码学、量子物理、分子对称性等领域也有广泛应用。群的核心思想是研究对称性和变换，这种抽象思维方式对于解决实际问题非常有价值。在计算理论中，有限群的计算性质是研究的重要课题。例如，RSA加密算法基于整数模n乘法群的性质；离散对数问题（Diffie-Hellman密钥交换的基础）涉及循环群的结构；编码理论中的循环码与群论密切相关。环和域域除了0外所有元素在乘法下可逆的交换环整环无零因子的交换环3交换环乘法满足交换律的环环加法群+乘法半群+分配律环是代数系统?R,+,·?，其中?R,+?是交换群，?R,·?是半群，且乘法对加法满足分