高考二轮专题复习专题16圆锥曲线中综合问题解析版.docxVIP

专题16圆锥曲线中综合问题

【考情分析】

圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有：范围、最值问题，定点、定值问题，探索型问题等.

以解答题的压轴题形式出现，难度较大，重在提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

【题型一】圆锥曲线中的最值、范围问题

【典例分析】

1．（2021·山东滕州一中高三模拟）已知椭圆的左顶点为A，过其右焦点F作直线交椭圆C于D，E(异于左右顶点)两点，直线AD，AE与直线分别交于M，N，线段MN的中点为H，连接FH.

（1）求证：；

（2）求面积的最小值.

【解析】（1）由已知得，设，，直线DE的方程为，

与椭圆方程联立得，，

设直线AD的方程为，与直线联立得，

同理可得，

则，

，，当时，显然；

当时，时，，

综上，可得.

（2）

，H到直线DE的距离

，设，

，

在上单调递增，，当，即时取得最小值.

面积的最小值是.

2．（2021·山东省实验中学高三模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上位于第二象限的任一点，直线是的外角平分线，直线交椭圆于另一点，过左焦点作的垂线，垂足为，延长交直线于点，（其中为坐标原点），椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的内切圆半径的取值范围.

【解析】（1）由题意可得，且，

所以，

因为，分别为线段，的中点，所以为的中位线，

所以且，由，得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，

设直线的方程为，由点在第二象限求得.

设，，由得，

由根与系数的关系得，，

所以，

令，则，

所以，

因为在时单调递增，所以，

所以，

又，所以，即，

所以内切圆半径的取值范围是.

【提分秘籍】

求解圆锥曲线中最值、范围问题的主要方法

(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.

(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围.

【变式演练】

1．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟）已知点F为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M为椭圆C上的点，以M为圆心，长为半径作圆M，若过点可作圆M的两条切线(为切点)，求四边形面积的最大值.

【解析】（1）根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为3，最小值为1.

所以，解得，

所以

因此椭圆的标准方程为

（2）由（1）知，为椭圆的左焦点，

根据椭圆定义知，，

设，

∵点在圆外，∴，∴

所以在直角三角形中，

，，

由圆的性质知，四边形面积，其中.

即.

令，则

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以，在时，取极大值，也是最大值

此时.

2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为的重心，求点B到直线MN距离的取值范围．

【解析】（1）设椭圆的右焦点，则

以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆：，

所以圆心到直线的距离，

又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以，

解得：，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，设的中点为D，直线OD与椭圆交于A,B两点，

因为O为的重心，则,所以

即B到直线MN的距离是原点O到直线MN距离的3倍.

当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时B在长轴的端点处.

由得：,则O到直线MN距离为1，B到直线MN距离为3；

当MN的斜率存在时，设，则有：

两式相减得：，

因为D为的中点，所以，所以，

所以直线MN的方程为，即，

所以原点O到直线MN距离.

因为，所以，

所以.

因为，所以，所以，所以

综上所述，.

即点B到直线MN距离的取值范围.

【题型二】圆锥曲线中的定点、定值问题

【典例分析】

1．（2021浙江镇海中学高三模拟）已知且满足的动点的轨迹为．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）如图，过点的斜率大于零的直线与曲线交于，两点，，直线交曲线于另外一点，证明直线过定点．

【解析】（1）∵，且，

等式两边平方整理得．

（2）证明：设，，．

由两式相减得．

所以直线的方程为，整理得（*）．

因为点在直线上，所以①，

同理直线的方程为，因为点在直线上，所以②．

由①②两式得，整理得．

由（*）式同理知直线的方程为，

所以，

整理得直线的方程为，

所以直线过定点．

2．（2021·天津八中高三模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上任意一点，三角形面积的最大值是3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点的直线l交椭圆C于A，B两点，且，证明：为定值