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数学与数学思想

浅论数学思想与方法

一、数学思想与数学方法

所谓数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,

经过思维活动而产生的结果,是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识,它

是数学思维的结晶和概括,是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是

以数学为工具进行科学研究的方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,

经推导、运算、分析,以形成解释、判断和预言的方法,它是数学思想的具体反映,

是数学思想的具体表现形式,也是实现数学思想的手段和重要工具。数学思想和

数学方法之间没有严格的界限,只是在操作和运用过程中根据其特征和倾向性,

分为数学思想和数学方法。一般来说,数学思想带有理论特征,是指人们对数学理

论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动,如符号化思想,集合对应思

想,化归思想等。而数学方法则具有实践倾向,是指某一数学活动过程的途径、程

序、手段,它具有过程性、层次性和可操作性等特点,如消元法、换元法、配方法、

待定系数法等。因此,数学思想具有抽象性,数学方法具有操作性;数学思想是数

学方法的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。在日常生活

中,人们把数学思想和数学方法合在一起,称为数学思想方法。

二、数学思想与数学方法的类型

（一）数学思想的类型

1、化归思想。所谓“化归“,就是说,在解决问题,将原问题进行变形,使

之转化,直至最终归结为我们熟悉的,或易于解决或已经解决的问题。

化归的方法很多,有分割法、映射法、求变法等,但有一个原则是:和原来

的问题相比,化归后所得出的问题应是已经解决或是较为容易、较为简单的,即

化归的方向是:由未知到已知、由难到易、由繁到简、由一般到特殊。化归思想

的实质就在于不应以静止的眼光,而应以变化、运动、发展以及事物间相互联系

和制约的观点去看待问题,即应善于对所要解决的问题进行变形。这实际上也是

在数学教学中辩证唯物主义观点的生动体现。

2、函数与议程思想。函数与方程都是重要的数学概念,又是重要的数学思

想。函数思想就是用运动和变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通

过函数的形式,把这种数量关系表示出来加以研究,从而使问题得以解决,方

程思想是把所研究的数学问题中的相关关系转化为方程式方程组等数学模型,

利用方程式方程组解决问题的思想。

3、数形结合思想。根据数学问题的需要,有时把数量关系的问题转化成图

形的性质讨论,或者把图形的问题转化为数量关系的问题来研究。这种把数量关

系和图形的性质结合起来研究问题,就是数形结合思想。这三种思想包摄了数学

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数学与数学思想

内容,符合学生思维能力及其他们的实际生活经验,易于被掌握、理解,在数学

教学中,运用这些思想分析处理和解决数学问题的机会比较多。

（二）数学方法的类型

宏观的数学方法包括:模型方法、变换方法、对称方法、无穷小方法、公理

化方法、结构方法、实验方法.微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致

可以分为以下三类:

(1)逻辑学中的方法.例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳

法、穷举法(要求分类讨论)等.这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则,

又因运用于数学之中而具有数学的特色.

(2)数学中的一般方法.例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也

称坐标法.代数中常用图象法,解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学

中主要是指比较:大小,这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数

学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等.这些方法极为重要,应用也

很广泛.

(3)数学中的特殊方法.例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元

法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思

想)、因式分解诸方法,以及平行移动法、翻折法等.这些方法在解决某些数学问

题时起着重要作用,不可等闲视之.

如上所述,方法是解决思想、行为等问题的门路和程序,是思想的产物,是包

含或体现着思想的一套