高等数学课件空间解析几何高等教育出版社.pptVIP

*************************************曲面的切平面切平面的概念曲面上一点P的切平面是包含该点处所有切线的平面。直观上，切平面是最接近曲面在该点附近形状的平面，它与曲面仅在该点相交（非奇点情况下）。切平面方程的推导对于由方程F(x,y,z)=0表示的曲面，点P?(x?,y?,z?)处的切平面方程为：F?(x?,y?,z?)(x-x?)+F?(x?,y?,z?)(y-y?)+F?(x?,y?,z?)(z-z?)=0其中F?,F?,F?是F对x,y,z的偏导数。这些偏导数构成了曲面在点P?处的法向量。法线方程曲面上点P?处的法线是垂直于切平面的直线。若法向量为n=(F?,F?,F?)，则法线的参数方程为：x=x?+F?ty=y?+F?tz=z?+F?t第五章：空间中的曲线曲线的参数表示我们将学习空间曲线的参数方程表示方法，理解如何用三个参数方程共同描述一条空间曲线。参数表示是研究空间曲线最常用的方法。曲面交线我们将研究由两个曲面相交形成的空间曲线，学习如何通过曲面方程求解交线的方程，这是描述空间曲线的另一种重要方法。3切线和法平面我们将学习如何求解空间曲线的切线和法平面，理解曲线的局部几何性质，为后续研究曲线的曲率和挠率奠定基础。曲率和挠率最后，我们将深入研究空间曲线的曲率和挠率，了解它们的几何意义和计算方法，完善对空间曲线几何特性的理解。空间曲线的参数方程参数方程的定义空间曲线的参数方程是用参数t表示曲线上点的坐标的方程组：x=x(t)y=y(t)z=z(t)其中t是参数，通常表示时间或弧长。当t取不同值时，对应曲线上的不同点。参数方程提供了描述曲线的一种灵活方式，特别适合表示复杂的空间轨迹。表示方法和特点参数方程可以看作是将一维参数空间映射到三维空间，形成一条曲线。这种表示方法的优点是：1.能够表示任意复杂的曲线，包括自相交的曲线2.便于计算曲线上的点、切线和法平面3.自然表达运动轨迹，参数t可理解为时间4.便于计算机绘图和数值计算实例分析空间螺旋线（圆柱螺旋线）的参数方程：x=acosty=asintz=bt其中a是螺旋线所绕柱面的半径，b与螺旋线的螺距有关。螺旋线在工程中有广泛应用，如螺旋楼梯、弹簧和螺纹等。空间曲线的一般方程空间曲线可以看作是两个曲面的交线，因此可以用两个曲面方程的方程组来表示：F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0这种表示方法称为空间曲线的一般方程。几何上，它表示同时位于两个曲面上的所有点的集合，即两曲面的交线。方程推导过程通常是从已知条件出发，确定两个适当的曲面，使得它们的交线正是所求的空间曲线。例如，要表示以原点为中心、半径为a的球面与xOy平面相交形成的圆，可以用方程组：x2+y2+z2=a2（球面方程）和z=0（平面方程）。在实际应用中，空间曲线的一般方程常用于描述两个物体的交线、电磁场中的力线，以及流体中的流线等。通过分析这些方程，可以研究空间曲线的形状、性质和行为。空间曲线的切线切向量空间曲线的切向量表示曲线的瞬时变化方向2参数方程下的切向量对于参数方程x=x(t),y=y(t),z=z(t)，切向量为(x(t),y(t),z(t))切线方程过点P?(x?,y?,z?)的切线参数方程：x=x?+x(t?)s,y=y?+y(t?)s,z=z?+z(t?)s一般方程下的切线对于F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0表示的曲线，切向量与?F和?G都垂直空间曲线的切线是研究曲线局部性质的重要工具。在物理学中，运动物体在某一时刻的速度向量就是其轨迹曲线在该点的切向量。在工程应用中，如CAD设计和计算机图形学，切线信息用于确保曲线的平滑连接和过渡。切线的方向也反映了曲线在该点的前进方向。对于光滑曲线，切线方向是连续变化的。特别地，如果切向量的模为零，则该点称为奇点，此时切线不存在或不唯一。在实际分析中，我们通常假设曲线是光滑的，即切向量处处非零。空间曲线的法平面1法平面定义空间曲线上一点的法平面是垂直于该点切线的平面3法平面特点法平面包含曲线上该点处的所有法向量，这些向量与切向量垂直n·r法平面方程若切向量为r(t?)=(x(t?),y(t?),z(t?))，则法平面方程为：x(t?)(x-x?)+y(t?)(y-y?)+z(t?)(z-z?)=0法平面的几何意义是：它是曲线在该点最接近平面的平面。在微分几何中，法平面包含了描述曲线局部性质的重要信息