2025年中考数学复习--二次函数直角三角形存在性问题.docx

二次函数直角三角形存在性问题

1如图，已知抛物线y=x2

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；

(3)点M也是直线l上的动点，且.△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

2如图1，抛物线y=ax

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图2,将△AOE沿直线AD平移得到△NMP.

①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标.

②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

3如图，二次函数y=ax

(1)求二次函数y=ax

(2)连接BD,当t=3

(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；

(4)当t=54时，在直线MN上存在一点Q，使得.

4如图，已知抛物线y=ax

(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

(3)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

6如图，抛物线y=?3

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,作PF⊥PD于点P,使PF=1

(3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围.

1解:∵抛物线y=x2+bx+c

∴抛物线的解析式为y=

(2)如图,∵点A,B关于直线l对称,

∴连接BC交直线l于点P，此时即为要求的P点.

由(1)知，抛物线的解析式为y=

∴直线l:x=1,C(0,-3),∵B(3,0),

∴直线BC的解析式为y=x-3,

当x=1时,y=-2,∴P(1,-2),

(3)设点M(1,m),∵A(-1,0),C(0,-3),∴AC

①当∠ACM=90°时,∴A

∴10+

②当∠CAM=90°时，∴A

∴10+

③当∠AMC=90°时，A

∴m

∴M(1,-1)或(1,-2),

综上所述，满足条件的点M的坐标为：

1?83或((1,

2解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x-6)=ax2?4x?12=ax2

(2)令y=0,解得:x=4或-2,故点A(-2,0),函数的对称轴为:直线x=2,故点D(2,8);

由点A、D的坐标得,直线AD的表达式为:y=2x+4,

设点N(n,2n+4),∵MN=OA=2,则点M(n+2,2n+4),

①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4=?12n+22

故点M的坐标为2343

②点M(n+2,2n+4),点B、D的坐标分别为(6,0)、(2,8),

则.BD2

当∠BMD为直角时，则B

由勾股定理得：6?22+8

当∠MBD为直角时，则M

同理可得:n=-4,

当∠MDB为直角时，则M

同理可得：n=

故点M的坐标为:(-2,-4)或143283或12+2

3.解:(1)将点(-1,0),B(4,0)代入.y=ax2

(2)C(0,2),∴BC的直线解析式为y=?12x+2,当t=

(3).由题意可知,MN只能在CB之间,即0.5t2.5,M点坐标为(-1+2t,0),则OM=2t-1,

如图1，当点P在BC的下方时，过点P作PE⊥y轴于E,过点B作BF⊥PE于点F,由题意可知PE=OM=2t-1利用一线三等角,可证△CPE≌△PBF.

∴PE=BF=2t-1=OE,CE=PF

则CE=CO+OE=2+2t-1=2t+1,∴PF=CE=2t+1,

∴EF=PE+PF=2t-1+2t+1=4t

∵EF=OB=4,∴4t=4,∴t=1,∴M(1,0),∴D(1,3)同理,当P在BC的上方时,可得2t-1+2t-3=4,解得t=2

∴M(3,0),∴D(3,2);

(4)当t=54时，M320,

∴连接MC，勾股定理得：MC=

以M为圆心AB为直径构造圆M，如图2，圆与