莘县实验初级中学《如何运用几何原理确定二维空间内点的位置》课件.pptVIP

*************************************缩放变换1基本定义缩放变换是改变图形大小的变换，通过缩放因子来控制图形在各个方向上的伸缩程度。在二维空间中，缩放变换通常由两个缩放因子sx和sy确定，分别控制在x轴和y轴方向上的缩放比例。缩放变换可以是均匀的（sx=sy）或非均匀的（sx≠sy），前者保持图形的形状不变，后者会改变图形的形状。2缩放因子缩放因子是正数，表示图形在对应方向上的伸缩比例。缩放因子大于1表示放大，小于1表示缩小，等于1表示保持原大小。例如，缩放因子sx=2表示在x轴方向上放大到原来的2倍；sy=0.5表示在y轴方向上缩小到原来的一半。缩放因子也可以是负数，此时除了大小变化外，还会导致图形在对应方向上翻转。3缩放中心缩放变换需要指定缩放中心，这是在缩放过程中保持不变的点。最常见的是以原点(0,0)为中心的缩放，此时缩放公式最为简单。如果需要以其他点为中心进行缩放，通常的做法是先将缩放中心平移到原点，然后进行缩放，最后再将缩放中心平移回原位置，这实际上是三个基本变换的组合。缩放变换公式变换类型原坐标变换后坐标公式以原点为中心的缩放(x,y)(x,y)x=sx·x

y=sy·y以点(cx,cy)为中心的缩放(x,y)(x,y)x=cx+sx·(x-cx)

y=cy+sy·(y-cy)均匀缩放(sx=sy=s)(x,y)(x,y)x=s·x

y=s·y只在x方向缩放(sy=1)(x,y)(x,y)x=sx·x

y=y只在y方向缩放(sx=1)(x,y)(x,y)x=x

y=sy·y缩放变换的基本公式是通过将原坐标的各个分量分别乘以对应的缩放因子来得到新坐标。对于以原点为中心的缩放，公式非常简单：x=sx·x，y=sy·y。这意味着点到原点的距离在x方向上变为原来的sx倍，在y方向上变为原来的sy倍。对于以非原点(cx,cy)为中心的缩放，需要考虑点与缩放中心的相对位置。公式变为：x=cx+sx·(x-cx)，y=cy+sy·(y-cy)。这可以理解为先将点相对于缩放中心的偏移量进行缩放，然后再加上缩放中心的坐标。在矩阵形式中，非原点缩放需要结合平移变换来实现。缩放变换示例1均匀缩放示例假设要将点P(4,3)以原点为中心进行均匀缩放，缩放因子s=2。根据缩放公式x=sx·x，y=sy·y，代入得：x=2·4=8，y=2·3=6。因此，点P经过缩放后的新位置为P(8,6)。这表示点P到原点的距离在各个方向上都变为原来的2倍。2非均匀缩放示例假设要将点Q(4,3)以原点为中心进行非均匀缩放，缩放因子sx=0.5，sy=2。根据缩放公式，计算得：x=0.5·4=2，y=2·3=6。因此，点Q经过缩放后的新位置为Q(2,6)。这种缩放使得图形在x方向上压缩，在y方向上拉伸，会改变图形的形状。3非原点缩放示例假设要将点R(5,4)以点C(1,1)为中心进行均匀缩放，缩放因子s=3。使用非原点缩放公式：x=cx+s·(x-cx)=1+3·(5-1)=1+3·4=13，y=cy+s·(y-cy)=1+3·(4-1)=1+3·3=10。因此，点R经过以C为中心的缩放后的新位置为R(13,10)。复合变换基本概念复合变换是多种基本变换按特定顺序组合形成的变换1变换顺序变换的应用顺序会影响最终结果，因此顺序非常重要2矩阵表示复合变换可以用矩阵乘法表示，简化计算过程3实际应用在计算机图形学和机器人控制中广泛使用复合变换4复合变换将多个基本变换（如平移、旋转、缩放）组合在一起，形成更复杂的变换。例如，要实现先旋转后平移的效果，需要先对点应用旋转变换，然后再应用平移变换。这种组合能够实现单个基本变换无法完成的复杂空间变换。需要特别注意的是，大多数几何变换不满足交换律，即变换的应用顺序会影响最终结果。例如，先旋转后平移与先平移后旋转通常会得到不同的结果。在数学上，复合变换可以通过变换矩阵的乘法来表示，这使得计算变得更加简洁和统一。为了使平移变换也能用矩阵表示，通常会引入齐次坐标系统。复合变换示例旋转后平移假设要将点P(3,4)先绕原点逆时针旋转90度，然后沿向量(2,1)平移。首先进行旋转：x=3·cos(90°)-4·sin(90°)=3·0-4·1=-4，y=3·sin(90°)+4·cos(90°)=3·1+4·0=3，得到中间点P1(-4