2023年中国数学奥林匹克预赛北京赛区预赛试题.docxVIP

中国数学奥林匹克预赛北京赛区预赛

2023

一试

2023年5月21日8:00-9:20

前8题每题8分，第9题16分，第10,11题每题20分

错误难免，不吝指正.

题1.1(2023北京预赛一试，第11-1题)

如图1,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E.已知AD=8,BE=3,则

DE=.

E

E

D

A

图1

答案

5.

解析

解：易知△ACD≌CBE.故CE=AD=8,CD=BE=3.

从而DE=CE-CD=5.

题1.2(2023北京预赛一试，第11-2题)

S是集合{1,2,…,2023}的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则|S|的最大值是 (这里|S|表示S的元素个数).

答案

1350.

解析

解：整数x及其平方x2模9的余数情况如下表：

x(mod9)

0

±1

±2

±3

±4

x2(mod9)

0

1

4

0

7

由此可知，个3的倍数只能任选1个，其它所有数均可选入.故|S|max=2023-674+1=1350.

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题1.3(2023北京预赛一试，第11-3题)

已知函数f(x)=sinwx+sin2ac,其中w∈N+,w≤2023.若f(x)2恒成立，则满足题设的常数w的个数为_.

答案

1770.

解析

解：只要考虑sin2x=1→时，

只须w(4k+1)≠2(mod8)w≠2(mod8).

而在1,2,….,2023中模8余2的数有253个，故所求数目为2023-253=1770.口

题1.4(2023北京预赛一试，第11-4题)

已知集合A={1,2,3},映射f:A→A,且满足对任意x∈A,有f(f(x))≥x,则这样的f有个.

答案

答案

13.

解析

解：列树状图分析：

情形一：

情形二：

情形三：

这样的f一共有13个.

题1.5(2023北京预赛一试，第11-5题)

已知向量a|=1,B|=2,且a,B夹角为120°.若a+tB与ta+B的夹角为锐角，则t的取值范围是__.

答案

解析

解：由题意，得(a+tb)(ta+6)0.即t-1-t2+4t0.解得

第5-2页

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题1.6(2023北京预赛一试，第11-6题)

设实数x,y满足

则x+y=

答案

-1.

解析

解：原方程组变形为

由于函数f(t)=t3+2023t在R上单调，故y+2=1-x.即x+y=-1.

题1.7(2023北京预赛一试，第11-7题)

已知在△ABC中，a=2b,,则

答案

解析

解：我们记

由则有m2+n2=1,x2+y2=1.所以

由

由正弦定理，得

综上，

题1.8(2023北京预赛一试，第11-8题)

使得n2+2023n为平方数的正整数n的最小值是__.

答案

425.

解析

解：设n2+2023n=m2,其中m∈Z0,则

(2n+2m+2023)(2n-2m+2023)=72×17?.(1)

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注意到72×17?的正约数从小到大依次为

1,7,17,72,7×17,172,72×17,7×172,

173,72×172,7×173,17?,72×173,7×17?,72×17?.

当n取到最小时，(1)式左边两因式之和4n+2023×2取到最小，又2n+2m7×172,故4n+2023×2=173+72×17.解得n=425.

题1.9(2023北京预赛一试，第11-9题)

已知a,b为正整数，ab,且a,b互质.若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=(求出满足题意的所有可能数组).

答案

(a,b)=(2,4047),(3,2024),(8,579),

或(18,239).

解析

解：由,根据题意，得

(a-1)(b-1)=2×7×172.

a-1

1

2

7

14

17

34

b-1

4046

2023

578

289

238

119

(a,b)

(2,4047)

(3,2024)

(8,579)

(1