(艺考)新高考数学二轮复习高频考点选填题型精讲精练专题21 双曲线（解析版）.docVIP

专题21双曲线

一、考向解读

一、考向解读

考向：高考中双曲线的考查主要是它的标准方程、渐近线和离心率等。基础知识点是双曲线的方程与性质，其中对称性和离心率的考查一般体现在小压轴中。标准方程的考查主要是解答题第一问，一般结合直线或者圆，要重点掌握好！

考点：双曲线的标准方程和性质。

导师建议：重视双曲线的定义，在较难选择填空中往往作为隐含条件！

二、知识点汇总

二、知识点汇总

1.双曲线的定义

平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．

注：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．

（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．

（3）时，点的轨迹不存在．

2.双曲线的方程及性质

标准方程

图形

A2

A2

焦点坐标

，

，

对称性

关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标

，

，

范围

实轴、虚轴

实轴长为，虚轴长为

离心率

渐近线方程

，

，

通径

通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为

等轴双曲线

等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．

【常用结论】（都很好用，一定要记住！！）

1.过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为.

2.双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数.

3.焦点三角形面积公式：

三、题型专项训练

三、题型专项训练

目录一览

①双曲线的定义

②双曲线的标准方程

③双曲线的性质

④多选题与填空题

高考题及模拟题精选

题型精练，巩固基础

①

①双曲线的定义

一、单选题

1．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（????）

A．2 B．2或18 C．4 D．18

【答案】B

【分析】利用双曲线的定义即可求解.

【详解】根据双曲线的定义，，即，解得2或18，均满足.

故选：B

2．双曲线的两个焦点分别是，双曲线上一点到的距离是12，则到的距离是（????）

A．17 B．7 C．7或17 D．2或22

【答案】D

【分析】讨论点位置，结合求.

【详解】当在双曲线左支上时，根据双曲线的定义得，

解得，

当在双曲线右支上时，根据双曲线的定义得，

解得，因为，所以满足题意.所以或，

故选:D.

3．在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（????）

A．椭圆 B．抛物线

C．双曲线 D．双曲线的一支

【答案】D

【分析】由双曲线的定义可得答案.

【详解】因为，，所以，若动点Р满足，则动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线.而题目中动点Р只满足，有，所以动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支.

故选：D

4．若动点满足关系式，则点的轨迹是（????）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支

【答案】D

【分析】设，.由已知可得，根据双曲线的定义即可得出答案.

【详解】设，，则.

则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支.

故选：D.

5．已知双曲线的左?右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，且的周长为8，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】A

【分析】利用双曲线的定义求解.

【详解】解：因为双曲线，

所以a=1，

由双曲线的定义得：，

两式相加得，又因为的周长为8，即，

两式相减得，故选：A

6．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的余弦值大小为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，，进而得出结论．

【详解】，设，，

则，，解得，，

，

故选：D．

7．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小.

【详解】由双曲线得到,,，左焦点，

设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.

===.

故选：C.

8．已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（????）

A．5 B． C．7 D．8

【答案】C

【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论．

【详解】记双曲线的右焦点为，所以，

当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．

故选：C．

②

②双曲线的标准方程

9．已知双曲线的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线方程的标准方程为（????）

A