有理式的不定积分与有理化方法.pptVIP

1.有理式的不定积分3-3有理式的不定积分与有理化方法有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为部分分式:有理函数积分法如果中包含因子时,则的部分分式中一定包含下列形式的项部分分式之和:如果有一个重实根,则的部分分式中一定包含下列形式的项部分分式之和:例如将真分式分解成部分分式.01变分子为02再分项积分四种典型部分分式的积分:而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.递推公式利用递推公式可求得说明:已知例如,例1求01解02第一种方法:待定系数法，03可以用如下的方法求出待定系数.04上式通分后得05比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组：0601从而解得02故有03于是化简并约去两端的公因子后为得例2求第二种方法(赋值法)或解之得解两端去分母,得比较两端的各同次幂的系数及常数项，有补例解01解02即有03即例3求logo用递推公式求或总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说,多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的乘积,从而把有理函数分解为多项式与部分分式之和.因此,有理函数的原函数都是初等函数.但是,用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁,只是在没有其它方法的情况下,才用此方法.例4求解01补例求02解原式03注意本题技巧04按常规方法较繁(2)三角有理式的积分法：——由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．三角函数有理式可记为(1)三角有理式：2.三角函数有理式的不定积分万能替换公式：令例4求解令，则注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非“万能的”）：1）若R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=cosx为积分变量；2）若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=sinx为积分变量；3）若R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可取u=tanx为积分变量.