重难点16 几何压轴突破四 几何最值问题之胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型（3种类型7种题型详解+专题训练）（解析版）.pdf

第四章三角形

重难点16几何压轴突破四几何最值问题之

胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型

（3种类型7种题型详解+专题训练）

【题型汇总】

类型一胡不归模型

【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子

略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是

义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老

人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道

走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通

过砂石区域回家呢？虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的

拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.

【模型详解】

条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值.

图示：

解题步骤：

1）作射线AM使sin∠PAMk（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.

2）过点P作PC⊥AM于点C，则PCk•PA，此时k•PA+PBPC+BP.

3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的

解题大招：即当B，P，C三点共线时，k•PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.

模型总结：在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型

问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA

的等线段

注意：若k1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.

【模型拓展】

对形如a•PA+b•PB(ab)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时

只需要构造,作垂线即可求出最小值.

题型01已有相关角直接作垂线

⊙⊥

1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于

1

+

点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．

2

【答案】6

⊥

【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形

1

==4⊥30°

的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到==2，进而求出

2

1

=+=6，然后利用+=+≤代入求解即可．

2

⊥

【详解】如图所示，过点P作