2024年新教材高中数学第六章平面向量及其应用4.3第2课时正弦定理学案新人教A版必修第二册.docVIP

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第2课时正弦定理

从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，你能依据上述数据计算出河流的宽度BC吗？

【问题1】要求河的宽度，还须要什么条件？

【问题2】你能用以前学习的学问解决这个问题吗？

【问题3】要想解决这个问题，还须要什么条件或什么性质呢？

1．正弦定理

1．本质：随意三角形中，边与角的正弦之间的关系．

2．对正弦定理的理解

(1)适用范围：正弦定理对随意的三角形都成立．

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．

(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．

在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？

提示：这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径2R，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是该三角形外接圆的半径．

2．正弦定理的变形

若R为△ABC外接圆的半径，则

(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；

(3)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；

(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R.

(5)S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC．

这些常见的公式的变形形式应娴熟驾驭，在解决详细问题时，依据不同的题设条件敏捷选用不同的变形公式．

在△ABC中，AB是sinAsinB的什么条件？

提示：在△ABC中，若AB，则ab.由正弦定理得2RsinA2RsinB，即sinAsinB．

若sinAsinB，则2RsinA2RsinB(R是△ABC的外接圆半径).由正弦定理得ab.

综上所述，在△ABC中，AB与sinAsinB的充要条件．

1．正弦定理不适用于直角三角形吗？

2．在△ABC中必有asinA＝bsinB吗？

3．在△ABC中，若sinA＝sinB，则必有A＝B吗？

提示：1.不是2.不是3.是的

1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB＝()

A．eq\f(1,5)B．eq\f(5,9)C．eq\f(\r(5),3)D．1

【解析】选B.因为a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，

所以由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(5×\f(1,3),3)＝eq\f(5,9).

2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，则AC＝()

A.4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(3),2)

【解析】选B.由正弦定理得eq\f(3\r(2),sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，

所以AC＝eq\f(3\r(2)·sin45°,sin60°)＝2eq\r(3).

基础类型一已知两角及一边解三角形(数学运算)

1．在△ABC中a＝10，B＝60°，cosC＝eq\f(\r(3),3)，则c等于()

A．20(eq\r(6)＋2) B．20(eq\r(6)－2)

C．eq\r(6)＋2 D．20eq\r(6)

【解析】选B.由cosC＝eq\f(\r(3),3)得，

sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，

sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC

＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(3＋\r(6),6).

由正弦定理得，

c＝a·eq\f(sinC,sinA)＝10×eq\f(\f(\r(6),3),\f(3＋\r(6),6))＝10×eq\f(\r(6),3)×eq\