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专题07等差数列与等比数列

【考情分析】

【题型一】等差、等比数列基本运算

【题组练透】

1.（山东省淄博市2021届高三二模数学试题）已知为等比数列，为其前项和，若，则公比（）．

A．B．C．1D．2

【答案】D

【解析】因为，所以，

即，

因为，所以，

即，

因为，所以2.故选：D

2．我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲?乙?丙?丁?戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）

A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯

【答案】A

【继续】依次记甲?乙?丙?丁?戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，

由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：

，

解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，

即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.

3．（2021·武汉市第一中学高三二模）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（）

A．d＜0B．a16＜0

C．Sn≤S15D．当且仅当Sn＜0时n≥32

【答案】ABC

【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，

∴10a1+45d＝20a1+190d，

∴2a1+29d＝0，

∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；

∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，

∵d＜0，∴a15＞a16，

∴a15＞0，a16＜0，故B正确；

∴Sn≤S15，故C正确；

又，，

∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.故选：ABC．

4．（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）已知等比数列中，，，则满足成立的最大正整数的值为______．

【答案】3

【解析】已知为等比数列，设其公比为，由得，，，解得，又．∴．

因为，所以数列也是等比数列，其首项为，公比为．

∴，从而有．

∴．故．故答案为：3.

【提分秘籍】

1.在等差(比)数列中,a1,d(q),n,an,Sn五个量中知道其中任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.

2.对于等比数列的前n项和公式,应按照公比q与1的关系分类讨论,一般地,若涉及n较小的等比数列前n项和问题,为防止遗忘分类讨论,可直接利用通项公式写出,而不必使用前n项和公式.

【题型二】等差、等比数列的性质

【题组练透】

1．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（文））等比数列的各项均为正数，且，则（）

A．10B．5C．8D．4

【答案】B

【分析】

应用等比数列等比中项的性质可得，运用对数的运算性质可得原式为，代入可计算结果.

【详解】

解：因为，且，则有

.

故选：B.

2．（2021·山东青岛市·高三三模）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等差数列的前项和，若，则（）

A．B．45C．75D．150

【答案】C

【分析】

先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前项和公式求和即可.

【详解】

由行列式的定义有，即，

所以.

故选：C.

3．（2021·广东潮州市·高三二模）已知数列满足，下列命题正确的有（）

A．当时，数列为递减数列

B．当时，数列一定有最大项

C．当时，数列为递减数列

D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项

【答案】BCD

【分析】

分别代入和计算判断AB选项；再利用放缩法计算判断C选项；设，则，所以化简得，可知数列为常数数列，可判断D；

【详解】

当时，，知A错误；

当时，，当，，，，

所以可判断一定有最大项，B正确；

当时，，所以数列为递减数列，C正确；

当为正整数时，其值不妨取为，则，所以，

可知数列为常数数列，D正确；

故选：BCD.

4.已知数列{an}为等差数列，若a2＋a8＝，则tan(a3＋a7)的值为

A．B．－C．D．－

【答案】－

【解析】∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a7＝a2＋a8＝．

∴tan(a3＋a7)＝tan＝－

【提分秘籍】

1.利用等差(等比)数列的性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.

2.活用函数的性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的这些性质解题.

【题型三】等差、等比数列的判断与证明

【典例分析】

【典例】若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝e