北航数分大作业三.docxVIP

一、算法的设计方案

1、对于已给出的非线性方程组，其解集可采用牛顿迭代法进行求解。在每次迭代过程中，将x，y的值固定，如此便可得到一组关于t，u，v，w的解。因此可以建立一组（x，y）和（t，u）一一对应的关系。

2、采用分片二次插值对题目中所给出的z，t，u二维数表进行处理。于是在0≤t≤1,0≤u≤2的矩形区域就建立了z与(t,u)的一一对应关系。其中选择（m，n）满足，。

3、对，。分别使用前两步算法，可得到一组的数表。

4、采用最小二乘拟合，设，m=10n=20，M=N=K。插值基函数，。U即为上面所求的Z[11][21]。为避免计算过程中出现矩阵求逆，将改为，再利用高斯消去法以作为系数矩阵，的每一列作为非线性部分，分别解出A的每一列。在将改为，然后利用高斯消元法以作为系数矩阵，的每一行作为非线性部分，分解出C的每一行。如此便得到了最小二乘拟合的系数矩阵C。

5、在对精度进行计算时将k=1，计算使用最小二乘拟合求出系数矩阵C，然后根据求出，而也即为上面所求的。如此便可求出达到要求精度的最小k值。

二、源程序

#includestdio.h

#includemath.h

#defineN4

#defineeps1e-12//定义精度

#defineMAX10

doublenorm8(double*X){//求向量的无穷范数

inti;

doublesum=fabs(X[0]);

for(i=1;iN;i++)

if(sumfabs(X[i]))

sum=fabs(X[i]);

returnsum;

}

voidGuass(doublea[][MAX],double*b,double*X,intstep){//选主元的高斯消元法

inti,j,k,loc;

doublem,sum,max,temp;

doubleA[MAX][MAX];//备份a，b防止运算后a，b的值发生改变

doubleB[MAX];

for(i=0;istep;i++){

for(j=0;jstep;j++)

A[i][j]=a[i][j];

B[i]=b[i];

}

for(k=0;kstep-1;k++){

max=fabs(A[k][k]);

loc=k;//找主元

for(j=k+1;jstep;j++)//找每列绝对值最大元

if(fabs(A[j][k])max){loc=j;max=fabs(A[j][k]);}

if(loc!=k){

for(i=k;istep;i++){

temp=A[loc][i];A[loc][i]=A[k][i];A[k][i]=temp;

}

temp=B[loc];B[loc]=B[k];B[k]=temp;

}

for(i=k+1;istep;i++)//消去

{m=A[i][k]/A[k][k];

A[i][k]=0;

for(j=k+1;jstep;j++)

A[i][j]=A[i][j]-m*A[k][j];

B[i]-=m*B[k];

}

}

X[step-1]=B[step-1]/A[step-1][step-1];

for(i=step-2;i=0;i--){

sum=0;

for(j=i+1;jstep;j++)

sum+=A[i][j]*X[j];

X[i]=(B[i]-sum)/A[i][i];

}

}

/*牛顿迭代法，求解非线性的方程组*/

voidNewton(doublex,doubley,double*tuvw){

inti,j;

doubleDF[N][MAX];

doubleF[N],delta[N];

for(i=0;iN;i++)tuvw[i]=1;delta[0]=1;

for(i=0;iN;i++){

for(j=0;jN;j++)

DF[i][j]=1;

DF[i][i]=0;

}