2025年中考数学复习--费马点最值模型.docx

费马点最值模型

1如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为()

A.3+22B.4+33

2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2.若点P是△ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为.

3两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示.若∠α=30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是.

4已知到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC是锐角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.(例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点).

(1).若AB=AC=7,BC=23

(2).若AB=23,BC=2,AC=4,P为△ABC的费马点,则PA+PB+PC=

5问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P，可推出结论：

问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6,∠M=75°,MG=42.点O是△MNG内一点，则点O到，

6如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+3,则这个正方形的边长为

7如图，已知，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90

8在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,，则称P为△ABC的费马点.如图所示，在△ABC中，已知，∠BAC=45°,设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA=4

9已知,在△ABC中,∠ACB=30°

(1)如图1,当AB=AC=2,求BC的值;

(2)如图2,当AB=AC,点P是△ABC内一点,且1PA=2,PB=21

(3)如图3,当AC=4,AB=7CBCA),

10如图，点P是正方形ABCD内一点，并延长AP与DC相交于点Q.

(1)若PA=2

(2)若PA+PB+PD的最小值为6+

11如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF.

(1)求证:CF=

(2)如图2所示,在点D运动的过程中,当BD=2CD时,分别延长CF,BA,相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

(3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长.

12如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且OA=0B,△AOC是等边三角形，且点C在第二象限，M为∠AOB平分线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转(60°

学习笔记：

(1)求证:△AMO?△CNO;

(2)若A点坐标为(0,4);

①当AM+BM的值最小时，请直接写出点M的坐标；

②当AM+BM+OM的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由.

13(1)【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转(60°,得到△ADE,连接BD,则

(2)【类比探究】如图2,在等边三角形ABC内任取一点P,连接PA,PB,PC,求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形.

(3)【解决问题】如图3，在边长为7的等边三角形ABC内有一点P,∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.

(4)【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30°,P为△ABC内的一个动点,连接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.

14阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题.1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：

给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置.

托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点.

问题解决：

(1)费马问题有多